标题党又来了

题目描述

给定 $n$，求 $\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=i+1}^{n}gcd(i,j)$。

解法1：暴力

两个for搞定。每一次计算复杂度为 $O(n^2)​$。

于是你可以水掉UVA11417。

解法2：化柿子

既然直接枚举 $i,j​$不行，那么我们换成枚举 $gcd​$，假设我们已经确定了 $i,j​$的 $gcd​$为 $k​$，那么 $gcd(i/k,j/k)=1​$，于是问题转化为，在 $[1,\lfloor \frac{n}{k} \rfloor]​$范围内，互质的无序数对个数。

我们接着转化，假设我们已经知道了互质的数中的较大的一个 $a$，那么我们要做的就是求出小于这个数的与它互质的数。想到了什么？欧拉函数！！

于是我们会发现，我们要求的就是在 $[1,\lfloor \frac{n}{k} \rfloor]$范围内的所有数的欧拉函数值得和。

那么最终的答案就是
$\sum_{k=1}^{n} \sum_{d=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\phi(d)$
然后我们发现，后面一个和可以通过线性筛和前缀和预处理做到 $O(1)$查询和。于是成功的把每次计算复杂度降到了 $O(n)​$。

于是你可以*掉洛谷1390和洛谷2398，还有洛谷2568。

不过要注意的是，这些题中的 $\phi(1)​$的初始值会有所不同，并且有些题求的是有序数对个数，需要对答案进行一些简单处理。

终极解法：统统预处理

尽管解法2已经将时间复杂度压到了一次计算 $O(n)​$，几乎是最优了，但对于多组数据，尤其是几万甚至几十万的数据组数时，就显得太慢了愚蠢，垃圾。

我们发现， $O(n)$复杂度的瓶颈在于每次都需要枚举计算。那么我们考虑用预处理把所有的答案都预处理出来，做到 $O(1)$查询。

继续化柿子：
$\begin{aligned} &设f(n)=\sum_{i=1}^{n-1}gcd(i,n)\\ &那么ans=\sum_{i=1}^{n}f(n)\\ f(n)&=\sum_{d|n}d\times\sum_{i=1}^{n-1}[gcd(i,n)=d]\\ &=\sum_{d|n}d\times\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}-1}[gcd(i,\frac{n}{d})=1]\\ &=\sum_{d|n}d\times \phi(\frac{n}{d}) \end{aligned}$
那么我们就可以在预处理欧拉函数后，用类似埃氏筛的方法，预处理出 $f(n)​$，最后对其做一遍前缀和，就得到了最终的答案。

此处给出筛 $f(n)$的代码：

for(int i = 1; i*i < MAX; i++){
	ans[i*i] += i*phi[i];
	for(int j = i+1; i*j < MAX; j++){
		ans[i*j] += phi[j]*i+phi[i]*j;
	}
}

由于 $d$和 $\frac{n}{d}$是对称的，我们直接一次累计即可，但对于平方数，只能累计一个答案。

于是你又可以A掉SP3871，UVA11424和UVA11426.

至此，恭喜你成功用1个套路水掉了七倍经验！！