一.百度百科的定义：

    对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然

    存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

    这说明两点

   1.贝祖等式中，a,b必须都要大于0

   2.a,b中允许有一个为0

二.当a,b中有一个为负数的处理办法

三.应用

摘自博客https://blog.csdn.net/weixin_42165981/article/details/81185418

应用一：求解乘法逆元（A和MOD互素的时候才存在，否则不存在逆元）

应用二：求解ax=c(mod b)（也就是ax+by=c（同上逆元的变化方式））的x的最小整数解

  ax=c(mod b)可以转化为ax+by=c。（变化的方式同求逆元的时候的变化。）

我们可以用扩展欧几里得算法得出ax+by=gcd(a,b) 的一组解（x1,y1），那么其他解呢？任取另一组解（x2,y2）,则ax1+by1=ax2+by2（因为它们都等于gcd(a,b) ），变形得a(x1-x2)=b(y2-y1)。假设gcd(a,b)=g，方程左右两边同时除以g（如果g=0，说明a或b等于0，可以特殊判断），得a'(x1-x2)=b'(y2-y1)，其中a'=a/g，b'=b/g。注意，此时a'和b'互素（想想分数的化简），则因此x1-x2一定是b'的整数倍（因为a'中不包含b'，所以x1-x2一定包含b'）。设它为kb'，计算得y2-y1=ka'。注意，上述的推导过程并没有用到“ax+by的右边是什么”，因此得出以下结论：

设a,b,c为任意整数，若方程ax+by=c的一组解是（x0,y0），则它的任意整数解都可以写成（x0+kb',y0-ka'），其中a'=a/gcd(a,b)，b'=b/gcd(a,b)，k取任意整数。

这样我们就可以求出来最小的整数解了。（先用扩展欧几里得算法求出一组解，然后进行变换）。
 

应用三：直线上的整数点。在平面坐标系下，ax+by=c是一条直线方程。知道一个点，我们就可以用应用二中的方法去求直线上的所有整数点。