题目描述

三核苷酸是组成 $DNA$序列的基本片段。具体来说，核苷酸一共有 $4$种，分别用 $’A’，’G’，’C’，’T’$来表示。而三核苷酸就是由 $3$个核苷酸排列而成的 $DNA$片段

三核苷酸一共有 $64$种。给定一个长度为 $L$的 $DNA$序列，一共可以分辨出 $（L-2）$个三核苷酸。现在我们想用一些统计学的方法来进行一些分析，步骤如下：

$1.$对于这 $（L-2）$个三核苷酸，我们从左到右给予编号，分别为 $1$到 $L-2$。

$2.$从这 $（L-2）$个三核苷酸挑选一对出来，一共有 $(L-2)*(L-3)/2$种可能。如果某一对三核苷酸是一样的，我们就记录他们之间的距离。他们之间的距离定义为他们的编号之差。

$3.$根据我们所记录的“样本数据”，我们现在需要计算样本数据的方差。如果样本的大小 $n=0$，那么我们认为 $S2=X=0$。

题目解析

设 $ave$为平均数, $k$为有多少对, $t[i]$为有每对的值对,答案是

$ANS=(ave*ave*k+sum(t[i]^2)-2*ave*sum(t[i]))/k$

由此可知，不用得到每个 $t[i]$,只要知道所有 $t[i]$的和以及平方和。

设 $a[i]$为每对的位置, $cnt[i]$为有多少个片段与 $i$的相同, $sum[i]$为 $t[i]$的和, $sqr[i]$为 $t[i]$的平方和

$sum[a[i]]+=cnt[a[i]]*i-sums[a[i]]${加入第 $i$段时更新 $t[i]$的和}

$sqr[a[i]]+=cnt[a[i]]*i*i+sqrs[a[i]]-2*i*sums[a[i]]${根据平方和公式，加入第 $i$段时更新 $t[i]$的平方和}

最后化简公式可得 $ans=$所有 $t[i]$的平方和 $-t[i]$和的平方

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100005
using namespace std;
int T;
long long a[N],cnt[N],sqrs[N],sums[N],sum[N],sqr[N],gs,x,y;
double ans;
char c[N];
string s;
int main()
{
	freopen("tri.in","r",stdin);
	freopen("tri.out","w",stdout);
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
	  for(int i=111;i<=444;i++)
	   sqr[i]=sum[i]=sqrs[i]=sums[i]=cnt[i]=0; 
	  scanf("%s",c);
	  s=c;
	  for(int i=0;i<s.size();i++)
	   if(s[i]=='A') a[i]=1;
	   else if(s[i]=='G') a[i]=2;
	   else if(s[i]=='C') a[i]=3;
	   else a[i]=4;
	  for(int i=0;i<s.size()-2;i++)
	   a[i]=a[i]*100+a[i+1]*10+a[i+2];
	  for(int i=0;i<s.size()-2;i++)
	  {
	  	sqr[a[i]]+=cnt[a[i]]*i*i+sqrs[a[i]]-2*i*sums[a[i]]; 
	  	sum[a[i]]+=cnt[a[i]]*i-sums[a[i]];
	  	sqrs[a[i]]+=(long long)i*i;
	  	sums[a[i]]+=i;
	  	cnt[a[i]]++;
	  }
	  gs=x=y=ans=0;
	  for(int i=111;i<=444;i++)
	   gs+=cnt[i]*(cnt[i]-1)/2,x+=sqr[i],y+=sum[i];
	  if(gs==0) ans=0;
	  else ans=(1.0*x/gs)-(1.0*y/gs)*(1.0*y/gs);
	  printf("%0.6lf\n",ans);
	}
}