1. 最小生成树的定义
生成树指的是含有所有顶点的无环连通子图。注意这其中的三个限定条件:
1)包含了所有的顶点
2)不存在环
3)连通图
如上图所示。就是一个生成树。
而最小生成树指的是所有的边的权值加起来最小的生成树。最小生成树的重要应用领域太多,包括各种网络问题,例如电力分配网络,航空、铁路规划等问题。
2. 加权无向图的数据类型
//带权重的边的数据类型 public class Edge implements Comparable<Edge> { int v; int w; double weight; public Edge(int v, int w, double weight) { this.v = v; this.w = w; this.weight = weight; } public double weight() { return weight;} public int either() //返回边的其中一个顶点 { return v;} public int other(int vertex) //返回另一个顶点 { if(vertex == this.v) return this.w; else if(vertex == this.w) return this.v; else throw new RuntimeException("Inconsistent edge"); } public int compareTo(Edge that) { if(this.weight < that.weight) return -1; else if(this.weight > that.weight) return 1; else return 0; } public String toString() { return String.format("%d - %d %.2f", v, w, weight); } }
以上为带权重的边的构造函数。
其中两个函数,either() 和 other() 目前比较难以理解,但之后会有比较大的用处。
//加权无向图 public class EdgeWeightedGraph { private int V; private int E; private Bag<Edge>[] adj; //注意这里的邻接矩阵不再是邻接的点了,而是邻接的边的集合 public EdgeWeightedGraph(int V) { this.V = V; E = 0; adj = (Bag<Edge>[]) new Bag[V]; for(int v=0;v<V; v++) { adj[v] = new Bag<Edge>();} } public int V() { return V;} public int E() { return E; } public void addEdge(Edge e) { int v = e.either(); int w = e.other(v); adj[v].add(e); adj[w].add(e); E++; } public Iterable<Edge> adj(int v) { return adj[v]; } public Iterable<Edge> edges() //返回所有的边的集合 { Bag<Edge> b = new Bag<Edge>(); for(int v = 0;v < V;v++) { for(Edge e: adj[v]) if(e.other(v) > v) b.add(e); } return b; } }
3. 寻找最小生成树
首先要了解,假设所有的边的权重不相同的情况下,每幅连通图都只有唯一的一颗最小生成树。而且最小生成树有一个很重要的切分定理。
切分定理:在一副加权图中,给定任意的切分,它的横切边中权重最小者必然属于最小生成树。也就是说假如把所有顶点任意的分成两堆,那么能够把两堆顶点中连起来的权重最小的边肯定属于最小生成树。
从上图中可以看出,在两堆顶点中,能够把7和0连起来的边的权重(在这里可以看成是距离)是最小的,所以这条边肯定属于最小生成树。
要把整颗生成树找出来,可以用贪心算法,一条边一条边找出来加到生成树中。
4. prim算法
首先需要厘清prim算法中用到的数据结构。
1)树中顶点的集合marked[],假如marked[v] = true,则说明,v此时已经在树中。
2)树中的边。一条队列mst来存储当前树中的所有边。
3)横切边。一条优先队列MinPQ<Edge>来存储当前考虑的可能在最小生成树中的候选边。
prim也是贪心算法的一种。具体过程如下:
1)先从任意一个顶点开始,把该顶点的所有邻接边加入优先队列MinPQ中,并把该顶点加入最小生成树中的marked数组。
2)在优先队列MinPQ中权重最小的那条边,把这条边加入最小生成树mst中,并把边的另一个顶点加入marked数组,并把新加入的顶点的邻接边也加入到优先队列MinPQ中。
3)继续在优先队列MinPQ中找到权重最小的边,并把该条边加入mst中,并继续把边的另一个顶点计入marker数组,并把新加入的顶点的邻接边也加入到优先队列MinPQ中。
4)...不断重复当前过程。
所以prim算法的效果就相当于从某一点出发,不断在当前的树的基础上延伸新的边,最后形成一颗完整的树。
public class LazyPrimMST { private boolean[] marked; private Queue<Edge> mst; //队列 private MinPQ<Edge> pq; //优先队列 public LazyPrimMST(EdgeWeightedGraph G) { marked = new boolean[G.V()]; mst = new Queue<Edge>(); pq = new MinPQ<Edge>(); visit(G, 0); while(!pq.isEmpty()) //注意循环条件,等到最小生成树完全生成后,最后MinPQ中会一条一条被删掉,直到为空 { Edge e = pq.delMin(); int v = e.either(), w = e.other(v); if(marked[v] && marked[w]) continue; //跳过失效的边 mst.enqueue(e); //将边添加到树中 if(!marked[v]) visit(G, v); if(!marked[w]) visit(G, w); } } private void visit(EdgeWeightedGraph G, int v) { marked[v] = true; for(Edge e:G.adj[v]) if(!marked[e.other(v)]) pq.insert(e); } }
但是需要注意的是,以上的代码实现过程中,优先队列会先保留失效的边,到最后再一条一条删掉,这种方法又被称为延时实现。
还有另一种即时实现的方法。这种方法的核心在于,我们只在优先队列中保存每个非树顶点的一条边,也就是离树顶点最近的那条边。其余的边都会失效,没有必要保留它们。
public class PrimMST { private boolean[] marked; private Edge[] edgeTo; private double[] distTo; private IndexMinPQ<Double> pq; public PrimMST(EdgeWeightedGraph G) { marked = new boolean[G.V()]; edgeTo = new Edge[G.V()]; distTo = new Double[G.V()]; pq = new IndexMinPQ<>(G.V()); //新建一个容量大小为索引优先队列 for(int v= 0;v<G.V(); v++) distTo[v] = Double.POSITIVE_INFINITY; pq.insert(0, 0.0); distTo[0] = 0.0; while(!pq.isEmpty()) visit(G, pq.delMin()); } public void visit(EdgeWeightedGraph G, int v) { marked[v] = true; for(Edge e: G.adj[v]) { int w = e.other(v); if(marked[w]) continue; if(e.weight() < distTo[w]) { distTo[w] = e.weight(); edgeTo[w] = e; if(pq.contains(w)) pq.change(w, distTo[w]); else pq.insert(w, distTo[w]); } } } }
5. kruskal算法
于prim算法是在一颗小树的基础上,一条边一条边延展从而生成一颗大树不同,kruskal算法则是全面开花,最后连成一棵树。
kruskal的算法思想也很简单:按照权重将边排序依次添加进树中,如果边会形成环,则弃之,否则,加入树中。
public class kruskalMST { private Queue<Edge> mst; public kruskalMST(EdgeWeightedGraph G) { mst = new Queue<Edge>(); MinPQ<Edge> pq = new MinPQ<Edge>(); UF uf = new UF(); for(Edge e:G.edges()) pq.insert(e); while(!pq.isEmpty() && mst.size() < G.V() - 1) { Edge e = pq.delMin(); int v = e.either(), w = e.other(v); if(uf.connected(v, w)) continue; //如果形成了环,就跳过 uf.union(v, w); //合并分量 mst.enqueue(e); //添加到树中 } } public Iterable<Edge> edges() { return mst;} }
参考资料:《算法》第四版