1.1多项式拟合

目标数据集的生成方式:

首先计算函数sin (2πx) 的对应的值
然后给每个点增加一个小的符合高斯分布的随机噪声
通过使用这种方式产生数据,它们拥有一个内在的规律,这个规律是我们想要学习的。同时也包含随即噪声，这种噪声可能由随机的过程产生，也可能是由于存在没有被观察到的具有变化性的噪声源。

训练数据和测试数据:

训练数据用来训练多项式模型,来学习数据中的规律
测试数据,测试模型在新数据上的泛化能力(测试集由100个数据点组成,这100个数据点的生成方式与训练集的生成方式完全相同,但是在目标值中包含的随机噪声的值不同.)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
%matplotlib inline

# sin(2*pi*x)
def func(x):
    return np.sin(2 * np.pi * x)

def create_toy_data(func, sample_size, std):
    x = np.linspace(0, 1, sample_size)
    t = func(x) + np.random.normal(scale=std, size=x.shape)
    return x, t

x_train, y_train = create_toy_data(func, 10, 0.25)
x_test, y_test = create_toy_data(func, 100, 0.25)

1.2数据可视化:

10 个数据点组成的训练集的图像,用蓝色圆圈标记.
100 个数据点组成的测试数据集,用黄色的圆圈标记.
红色曲线给出了用来生成数据的sin (2πx) 函数.
我们的目标是对于某些新的 x 值,预测 y 的值.

y_r = func(np.linspace(0, 1, 110))
plt.figure(figsize=(14, 6))
plt.scatter(x_train, y_train, edgecolor="b", s=50, label="training data")
plt.scatter(x_test, y_test, edgecolors='k', s=50, label="testing data")
plt.plot(np.linspace(0, 1, 110), y_r, c="r", label="$\sin(2\pi x)$", lw=3.0)
plt.legend()

在这里插入图片描述

1.3 多项式函数拟合

$f(x, w) = w_0 + w_1x + w_2x^2 + ... + w_Mx^M = \sum^{M}_{j=0} w_jx^j$

$M$ : 多项式的阶数
$w$ : 代表系数向量, $ w_0,w_2,w_3,…w_m $

1.4 误差函数

误差函数衡量了对于任意给定的 $w$ 值,函数 $f(x, w)$ 与训练集数据目标值的差别。

$E(w) = \frac{1}{2} \sum^{N}_{i=1} (f(x_i, w) - y)^2$

$w$ : 系数向量,通过最小化误差函数来确定
$f(x, w)$ : 从数据中学习得到的函数
$\frac{1}{2}$ : 系数为了方便计算
$N$ : 样本的数量

1.5 多项式特征

例如，如果输入样本是二维的并且形式为 $[a，b]$ ，则2次多项式特征是 $[1，a，b，a^2，ab，b^2]$ 。

sklearn,提供了多项式特征的方法:

from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures

X = np.arange(6).reshape(3, 2)

poly = PolynomialFeatures(2)
poly.fit_transform(X)

>>> array([[ 1.,  0.,  1.,  0.,  0.,  1.],
          [ 1.,  2.,  3.,  4.,  6.,  9.],
          [ 1.,  4.,  5., 16., 20., 25.]])

1.6 LinearRegression拟合多项式特征

plt.figure(figsize=(14, 8))
for i, degree in enumerate([0, 1, 3, 5, 7, 9]):
    plt.subplot(2, 3, i + 1)
    poly = PolynomialFeatures(degree)
    X_train = poly.fit_transform(x_train.reshape(-1, 1))
    X_test = poly.fit_transform(x_test.reshape(-1, 1))

    model = LinearRegression()
    model.fit(X_train, y_train)
    y_p = model.predict(X_test)

    plt.scatter(x_train, y_train, facecolor="none", edgecolor="b", s=50, label="training data")
    plt.plot(np.linspace(0, 1, 110), y_r, c="g", label="$\sin(2\pi x)$")
    plt.plot(x_test,y_p, c="r", label="fitting")
    plt.ylim(-2, 2)
    plt.annotate("M={}".format(degree), xy=(-0.15, 1))
    plt.title("poly's degree is %d"%degree)
    plt.legend()

在这里插入图片描述

1.6.1 拟合结果

( M = 0 )和一阶( M = 1 )多项式对于数据的拟合效果相当差
三阶( M = 3 )多项式似乎给出了对函数sin (2πx) 的最好的拟合
当我们达到更高阶的多项式( M = 9 ),我们得到了对于训练数据的一个完美的拟合事实上,$E(w^*) = 0 $。
高阶多项式特征虽然完美拟合,然而,但是,拟合的曲线剧烈震荡,就表达函数sin (2πx) 而言表现很差。
图四这种行为叫做过拟合( over-fitting )

1.7 测试

测试:通过对新数据的预测情况判断模型( $f(x, w)$ )的泛化性。

测试的方式为:

通过一个额外的测试集,这个测试集由100个数据点组成,这100个数据点的生成方式与训练集的生成方式完全相同,但是在目标值中包含的随机噪声的值不同。我们可以定量考察模型的泛化性与 M(阶数) 的关系,对于每个 M ,计算测试集的 $E(w)$ 。

有时候使用根均方(RMS)误差更方便。这个误差由下式定义:
$E_{rms} = \sqrt{\frac{2E(w^*)}{N}}$

N : (样本点的数量)以相同的基础对比不同大小的数据集,
平方根确保了 $E_{rms}$ 与目标变量 $y$ 使用相同的规模和单位进行度量。

def rmse(a, b):
    return np.sqrt(np.mean(np.square(a - b)))

training_errors = []
test_errors = []
w_params = []

for i in range(10):
    poly = PolynomialFeatures(i)
    X_train = poly.fit_transform(x_train.reshape(-1, 1))
    X_test = poly.fit_transform(x_test.reshape(-1, 1))

    model = LinearRegression()
    model.fit(X_train, y_train)

    y = model.predict(X_test)
    training_errors.append(rmse(model.predict(X_train), y_train))
    test_errors.append(rmse(model.predict(X_test), y_test))
    w_params.append(model.coef_)
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(training_errors, 'o-', mfc="none", mec="b", ms=10, c="b", label="Training")
plt.plot(test_errors, 'o-', mfc="none", mec="r", ms=10, c="r", label="Test")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.xlabel("degree")
plt.ylabel("RMSE")

Text(0, 0.5, 'RMSE')

在这里插入图片描述

1.7.1 测试结果

M(阶数)过大过小都会造成测试误差很大
当 M 的取值为 3 ≤ M ≤ 8 时,测试误差较小

1.8 不同阶多项式的系数

import pandas as pd

param_df = np.zeros((len(w_params),len(w_params[-1])))

for i in range(len(w_params)):
    param_df[:i+1,i] = w_params[i]

param_df = pd.DataFrame(param_df)

param_df

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000
1	-1.438176	-0.985530	12.997090	17.383902	5.641664	-0.256404	1.924420	-4.560926	-215.451195
2	0.000000	-0.452646	-37.304887	-59.458286	38.420548	111.186592	75.201286	205.987591	5077.185412
3	0.000000	0.000000	24.568161	60.101335	-216.569502	-529.761376	-316.364404	-1302.830510	-45179.500599
4	0.000000	0.000000	0.000000	-17.766587	299.360835	904.596578	301.203617	4022.592501	210149.339158
5	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	-126.850969	-665.218737	214.704064	-7532.869930	-569098.691158
6	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	179.455923	-459.109693	8579.726633	928109.751580
7	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	182.447319	-5351.534105	-897238.544636
8	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	1383.495356	473256.605051
9	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	-104860.691043

系数分析:

对于 M = 9,训练集的误差为0,此时的多项式函数有10个自由度,对应于10个系数 $w_0,...w_9$ ,所以可以调节模型的参数,使得模型与训练集中的10个数据点精确匹配。
因为高阶多项式包含了所有低阶的多项式函数作为特殊情况。 M = 9 的多项式因此能够产生至少与 M = 3 一样好的结果。
随着 M 的增大,系数的大小通常会变大。对于 M = 9 的多项式,通过调节系数,让系数取相当大的正数或者负数,多项式函数可以精确地与数据匹配,但是对于数据之间的点(尤其是临近区间端点处的点),函数表现出剧烈的震荡。直觉上讲,发生了这样的事情:有着更大的 M 值的更灵活的多项式被过分地调参,使得多项式被调节成了与目标值的随机噪声相符。

1.9 曾加训练数据的数量

给定同样的阶数(即模型的复杂度)
对比在相同阶数和测试数据下,不同规模数据上模型的情况

#增加到100个数据点.
new_x ,new_y = create_toy_data(func,100, 0.25)

poly = PolynomialFeatures(9)
train_x = poly.fit_transform(x_train.reshape(-1, 1))
test_x = poly.fit_transform(x_test.reshape(-1, 1))
model = LinearRegression()
model.fit(train_x, y_train)
test_y = model.predict(test_x)
#-------------------
x_new = poly.fit_transform(new_x.reshape(-1, 1))
model = LinearRegression()
model.fit(x_new, new_y)
test_y2 = model.predict(test_x)

plt.figure(figsize=(14, 5))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.scatter(x_train, y_train, facecolor="none", edgecolor="b", s=50, label="training data")
plt.plot(np.linspace(0, 1, 110), y_r, c="g", label="$\sin(2\pi x)$")
plt.plot(x_test,y_p, c="r", label="fitting")
plt.title("Small trainset degree=9")
plt.ylim(-3, 3)
plt.legend()

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.scatter(new_x, new_y, facecolor="none", edgecolor="b", s=50, label="training data")
plt.plot(np.linspace(0, 1, 110), y_r, c="g", label="$\sin(2\pi x)$")
plt.plot(x_test, test_y2, c="r", label="fitting")
plt.title("Big trainset degree=9")
plt.ylim(-3, 3)
plt.legend()

在这里插入图片描述

1.9.1结果分析

给定的模型复杂度,当数据集的规模增加时,过拟合问题减弱
数据集规模越大,我们能够用来拟合数据的模型就越复杂(即越灵活)
数据点的数量不应该小于模型的可调节参数的数量的若干倍(比如5或10)
因此,我们需要根据训练数据的规模来限制模型的复杂度(即参数的数量),根据待解决的问题的复杂性来选择模型的复杂性

1.10 正则化(regularization)

正则化是一种控制过拟合现象的技术(即可以在不限制模型复杂度的情况下,降低过拟合)
一般给误差函数增加一个惩罚项,使得系数不会达到很大的值(减小系数的值)

增加L2正则项后的误差函数

$E^~(w) = \frac{1}{2} \sum^{N}_{i=1} (f(x, w) - y)^2 + \frac{\lambda}{2}\parallel w^2 \parallel$

$\parallel w^2 \parallel = w^{2}_0 + w^{2}_1 + w^{2}_2 + .... w^{2}_M$
$\lambda$ : 控制正则化的程度, $\lambda$ 越大, $w$ 的值越小.
注意,通常系数 $w_0$ 从正则化项中省略

PRML(001):多项式特征

1.1多项式拟合

目标数据集的生成方式:

训练数据和测试数据:

1.2数据可视化:

1.3 多项式函数拟合

$f(x, w) = w_0 + w_1x + w_2x^2 + ... + w_Mx^M = \sum^{M}_{j=0} w_jx^j$

1.4 误差函数

$E(w) = \frac{1}{2} \sum^{N}_{i=1} (f(x_i, w) - y)^2$

1.5 多项式特征

sklearn,提供了多项式特征的方法:

1.6 LinearRegression拟合多项式特征

1.6.1 拟合结果

1.7 测试

测试的方式为:

1.7.1 测试结果

1.8 不同阶多项式的系数

1.9 曾加训练数据的数量

1.9.1结果分析

1.10 正则化(regularization)

增加L2正则项后的误差函数

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PRML(001):多项式特征

1.1多项式拟合

目标数据集的生成方式:

训练数据和测试数据:

1.2数据可视化:

1.3 多项式函数拟合

f ( x , w ) = w 0 + w 1 x + w 2 x 2 + . . . + w M x M = ∑ j = 0 M w j x j f(x, w) = w_0 + w_1x + w_2x^2 + ... + w_Mx^M = \sum^{M}_{j=0} w_jx^j f(x,w)=w0​+w1​x+w2​x2+...+wM​xM=j=0∑M​wj​xj

1.4 误差函数

E ( w ) = 1 2 ∑ i = 1 N ( f ( x i , w ) − y ) 2 E(w) = \frac{1}{2} \sum^{N}_{i=1} (f(x_i, w) - y)^2 E(w)=21​i=1∑N​(f(xi​,w)−y)2

1.5 多项式特征

sklearn,提供了多项式特征的方法:

1.6 LinearRegression拟合多项式特征

1.6.1 拟合结果

1.7 测试

测试的方式为:

1.7.1 测试结果

1.8 不同阶多项式的系数

1.9 曾加训练数据的数量

1.9.1结果分析

1.10 正则化(regularization)

增加L2正则项后的误差函数

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$f(x, w) = w_0 + w_1x + w_2x^2 + ... + w_Mx^M = \sum^{M}_{j=0} w_jx^j$

$E(w) = \frac{1}{2} \sum^{N}_{i=1} (f(x_i, w) - y)^2$