使用马尔科夫链求解。
记“当已经掷出x次1朝上时,直至出现连续2次1朝上所需的期望次数”为E(x)。则有:
E(0) = 1 + 5/6 * E(0) + 1/6 * E(1)
E(1) = 1 + 5/6 * E(0) + 1/6 * E(2)
E(2) = 0
解释:由E(0)状态可转换成E(0),E(1)状态(转换成E(2)状态的概率为零),E(0)转换成E(0)是指下一次投掷1不正面朝上,所以概率为5/6,E(0)转换成E(1)是指下一次投掷1正面朝上,所以概率为1/6,最前面的1表示一定投掷一次(然后状态会发生改变)。E(1),E(2)同理。
由上面三个式子可得:
E(0) = 42
表示初始状态——已经掷出0次1朝上时,直至出现连续2次1朝上所需的期望次数为E(0) = 42次。