二阶行列式
形如:
∣
a
11
  
a
12
a
21
  
a
22
∣
\begin{vmatrix} a_{11} \; a_{12} \\ a_{21} \; a_{22} \end{vmatrix}
∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 a 1 2 a 2 1 a 2 2 ∣ ∣ ∣ ∣ 叫做一个二阶行列式 ,其值由主、副对角线的积作差得到
三阶行列式
形如:
∣
a
11
  
a
12
  
a
13
a
21
  
a
22
  
a
23
a
31
  
a
32
  
a
33
∣
=
a
11
a
22
a
33
+
a
12
a
23
a
31
+
a
13
a
21
a
32
−
a
11
a
23
a
32
−
a
12
a
21
a
33
−
a
13
a
22
a
31
\begin{vmatrix} a_{11} \; a_{12} \; a_{13} \\ a_{21} \; a_{22} \; a_{23} \\ a_{31} \; a_{32} \; a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} \\ \qquad \qquad \qquad \qquad -a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 a 1 2 a 1 3 a 2 1 a 2 2 a 2 3 a 3 1 a 3 2 a 3 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = a 1 1 a 2 2 a 3 3 + a 1 2 a 2 3 a 3 1 + a 1 3 a 2 1 a 3 2 − a 1 1 a 2 3 a 3 2 − a 1 2 a 2 1 a 3 3 − a 1 3 a 2 2 a 3 1 叫做三阶行列式
n
n
n 阶行列式
用
D
=
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}
D = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 a 2 1 ⋮ a n 1 a 1 2 a 2 2 ⋮ a n 2 ⋯ ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ a n n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 表示一个
n
\bm n
n 阶行列式 ,其中元素
α
i
j
∈
C
\alpha_{ij}\in\mathbb{C}
α i j ∈ C ,这里
C
\mathbb{C}
C 为复数集。为了描述行列式中某个位置的元素,将行列式的横排称为行 ,竖排称为列 ,那么
α
i
j
\alpha_{ij}
α i j 表示此
n
n
n 阶行列式的第
i
i
i 行第
j
j
j 列的元素,
i
i
i 称为行指标 ,
j
j
j 称为列指标 。
n
n
n 阶行列式
D
=
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}
D = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 a 2 1 ⋮ a n 1 a 1 2 a 2 2 ⋮ a n 2 ⋯ ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ a n n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 等于所有来自不同行不同列的
n
n
n 个元素乘积的代数和。由于代数和的项数为
n
!
n!
n ! 个,为了表达方便,我们可以将每项中的
n
n
n 个元素按行指标由小及大的顺序排列,即写作
a
1
j
1
a
2
j
2
⋯
a
n
j
n
a_{1j_1}a_{2j_2} \cdots a_{nj_n}
a 1 j 1 a 2 j 2 ⋯ a n j n 的形式,并规定当列指标
j
1
j
2
⋯
j
n
j_1j_2 \cdots j_n
j 1 j 2 ⋯ j n 是偶排列 时,此项前面带正号 ;当列指标
j
1
j
2
⋯
j
n
j_1j_2 \cdots j_n
j 1 j 2 ⋯ j n 是奇排列 时,此项前面带负号 。这样,
n
n
n 阶行列式可以表示为:
D
=
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
=
∑
j
1
j
2
⋯
j
n
(
−
1
)
τ
(
j
1
j
2
⋯
j
n
)
a
1
j
1
a
2
j
2
⋯
a
n
j
n
D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}=\sum_{j_1j_2\cdots j_n} (-1)^{\tau(j_1j_2 \cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2} \cdots a_{nj_n}
D = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 a 2 1 ⋮ a n 1 a 1 2 a 2 2 ⋮ a n 2 ⋯ ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ a n n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = j 1 j 2 ⋯ j n ∑ ( − 1 ) τ ( j 1 j 2 ⋯ j n ) a 1 j 1 a 2 j 2 ⋯ a n j n 上式称为行列式的展开式
上述
n
n
n 阶行列式通常记为
D
=
d
e
t
(
a
i
j
)
D=det(a_{ij})
D = d e t ( a i j ) 或者
∣
a
i
j
∣
|a_{ij}|
∣ a i j ∣
在行列式中,由左上角到右下角所形成的斜线称为主对角线 ,由右上角到左下角所形成的斜线称为副对角线 。在主对角线下面的元素全为0,称为上三角形行列式 ,如果主对角线上面的元素全为0,则称为下三角形行列式 。上三角形行列式和下三角形行列式统称为三角形行列式 。如果除了对角线之外的元素全为0,则称之为对角行列式 。
行列式的性质
行与列互换,行列式的值不变,即
∣
D
∣
=
∣
D
T
∣
|D|=|D^T|
∣ D ∣ = ∣ D T ∣ 称
D
T
D^T
D T 为
D
D
D 的转置行列式 ,有时也记为
D
′
D^{'}
D ′
在行列式中,如果某一行(列)元素全为0,则该行列式值为0
交换任意两行(列)的位置,行列式的值变号
如果行列式有两行(列)完全相同,则行列式为0
行列式具有线性性,即:
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
⋮
⋮
⋮
b
1
+
c
1
b
2
+
c
2
⋯
b
n
+
c
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
=
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
⋮
⋮
⋮
b
1
b
2
⋯
b
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
+
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
⋮
⋮
⋮
c
1
c
2
⋯
c
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ b_1+c_1 & b_2+c_2& \cdots & b_n+c_n \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ b_1 & b_2& \cdots & b_n \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ c_1 & c_2& \cdots & c_n \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 ⋮ b 1 + c 1 ⋮ a n 1 a 1 2 ⋮ b 2 + c 2 ⋮ a n 2 ⋯ ⋯ ⋯ a 1 n ⋮ b n + c n ⋮ a n n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 ⋮ b 1 ⋮ a n 1 a 1 2 ⋮ b 2 ⋮ a n 2 ⋯ ⋯ ⋯ a 1 n ⋮ b n ⋮ a n n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 ⋮ c 1 ⋮ a n 1 a 1 2 ⋮ c 2 ⋮ a n 2 ⋯ ⋯ ⋯ a 1 n ⋮ c n ⋮ a n n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
⋮
⋮
⋮
k
a
i
1
k
a
i
2
⋯
k
a
i
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
=
k
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
⋮
⋮
⋮
a
i
1
a
i
2
⋯
a
i
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ ka_{i1} & ka_{i2}& \cdots & ka_{in} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}=k \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{i1} & a_{i2}& \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 ⋮ k a i 1 ⋮ a n 1 a 1 2 ⋮ k a i 2 ⋮ a n 2 ⋯ ⋯ ⋯ a 1 n ⋮ k a i n ⋮ a n n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = k ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 ⋮ a i 1 ⋮ a n 1 a 1 2 ⋮ a i 2 ⋮ a n 2 ⋯ ⋯ ⋯ a 1 n ⋮ a i n ⋮ a n n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
如果行列式有两行(列)成正比,则行列式为0
行列式某一行(列)的
k
k
k 倍加到另一行(列),行列式不变,即
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
⋮
⋮
⋮
a
p
1
a
p
2
⋯
a
p
n
⋮
⋮
⋮
a
q
1
a
q
2
⋯
a
q
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
=
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
⋮
⋮
⋮
a
p
1
a
p
2
⋯
a
p
n
⋮
⋮
⋮
a
q
1
+
k
a
p
1
a
q
2
+
k
a
p
2
⋯
a
q
n
+
k
a
p
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{p1} & a_{p2}& \cdots & a_{pn} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{q1} & a_{q2}& \cdots & a_{qn} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{p1} & a_{p2}& \cdots & a_{pn} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{q1}+ka_{p1} & a_{q2}+ka_{p2}& \cdots & a_{qn}+ka_{pn} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 ⋮ a p 1 ⋮ a q 1 ⋮ a n 1 a 1 2 ⋮ a p 2 ⋮ a q 2 ⋮ a n 2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a 1 n ⋮ a p n ⋮ a q n ⋮ a n n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 ⋮ a p 1 ⋮ a q 1 + k a p 1 ⋮ a n 1 a 1 2 ⋮ a p 2 ⋮ a q 2 + k a p 2 ⋮ a n 2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a 1 n ⋮ a p n ⋮ a q n + k a p n ⋮ a n n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
设
A
=
(
a
i
j
)
\bm A=(a_{ij})
A = ( a i j ) 是一个
n
n
n 阶方阵,则称:
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 a 2 1 ⋮ a n 1 a 1 2 a 2 2 ⋮ a n 2 ⋯ ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ a n n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 为方阵
A
\bm A
A 的行列式,记为
∣
A
∣
|\bm A|
∣ A ∣ 或
d
e
t
(
A
)
det(\bm A)
d e t ( A ) 。矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积,即如果
A
\bm A
A ,
B
\bm B
B 是两个同阶的方阵,那么
∣
A
B
∣
=
∣
A
∣
∣
B
∣
|\bm{AB}|=|\bm A||\bm B|
∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ 。注意 :
n
n
n 阶方阵和
n
n
n 阶行列式是两个不同的概念,前者是
n
2
n^2
n 2 个数按一定方式排成的一个数表,而后者是这个数表按一定的运算法则所计算的一个数。另外,由于行列式有
n
n
n 行
n
n
n 列,所以若矩阵
A
\bm A
A 不是方阵,就不能对它取行列式
行列式展开
在
n
n
n 阶行列式
D
=
∣
a
i
j
∣
D=|a_{ij}|
D = ∣ a i j ∣ 中,去掉元素
a
i
j
a_{ij}
a i j 所在的第
i
i
i 行、第
j
j
j 列所剩下的
n
−
1
n-1
n − 1 阶行列式:
∣
a
11
⋯
a
1
,
j
−
1
a
1
,
j
+
1
⋯
a
1
n
⋮
⋮
⋮
⋮
a
i
−
1
,
1
⋯
a
i
−
1
,
j
−
1
a
i
−
1
,
j
+
1
⋯
a
i
−
1
,
n
a
i
+
1
,
1
⋯
a
i
+
,
j
−
1
a
i
+
1
,
j
+
1
⋯
a
i
+
1
,
n
⋮
⋮
⋮
⋮
a
n
1
⋯
a
n
,
j
−
1
a
n
,
j
+
1
⋯
a
n
n
∣
\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots && \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & \cdots & a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+,j-1} & a_{i+1,j+1} & \cdots & a_{i+1,n} \\ \vdots && \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 ⋮ a i − 1 , 1 a i + 1 , 1 ⋮ a n 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a 1 , j − 1 ⋮ a i − 1 , j − 1 a i + , j − 1 ⋮ a n , j − 1 a 1 , j + 1 ⋮ a i − 1 , j + 1 a i + 1 , j + 1 ⋮ a n , j + 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a 1 n ⋮ a i − 1 , n a i + 1 , n ⋮ a n n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 称为元素
a
i
j
a_{ij}
a i j 的余子式,通常记作
M
i
j
M_{ij}
M i j 。余子式
M
i
j
M_{ij}
M i j 与符号项
(
−
1
)
i
+
j
(-1)^{i+j}
( − 1 ) i + j 的乘积
(
−
1
)
i
+
j
M
i
j
(-1)^{i+j}M_{ij}
( − 1 ) i + j M i j 叫做元素
a
i
j
a_{ij}
a i j 的代数余子式,通常记作
A
i
j
A_{ij}
A i j
n
n
n 阶行列式
D
=
∣
a
i
j
∣
D=|a_{ij}|
D = ∣ a i j ∣ 等于它的任意一行(列)的所有元素与各自的代数余子式的乘积之和,即:
D
=
a
i
1
A
i
1
+
a
i
2
A
i
2
+
.
.
.
+
a
i
n
A
i
n
D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}
D = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + . . . + a i n A i n
克拉默法则
如果线性方程组
{
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
.
.
.
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
.
.
.
+
a
2
n
x
n
=
b
2
                                        
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n
1
x
1
+
a
n
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
n
x
n
=
b
n
\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2 \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; ......... \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n \\ \end{cases}
⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 . . . . . . . . . a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n 的系数行列式
D
=
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
≠
0
D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}\ne 0
D = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 a 2 1 ⋮ a n 1 a 1 2 a 2 2 ⋮ a n 2 ⋯ ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ a n n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ̸ = 0 那么该方程组有唯一解
x
1
=
D
1
D
,
x
2
=
D
2
D
,
.
.
.
,
x
n
=
D
n
D
x_1=\frac{D_1}{D}, x_2=\frac{D_2}{D},...,x_n=\frac{D_n}{D}
x 1 = D D 1 , x 2 = D D 2 , . . . , x n = D D n 其中
D
i
D_i
D i 是把
D
D
D 中第
i
i
i 列依次换成常数项
b
1
,
b
2
,
.
.
.
,
b
n
b_1,b_2,...,b_n
b 1 , b 2 , . . . , b n 后所成的行列式
参考文献
[1] 周盛林, 刘西民. 线性代数与解析几何. 高等教育出版社. 2012