当关键字集合很大时,关键字值不同的元素可能会映象到哈希表的同一地址上,即 k1≠k2 ,但 H(k1)=H(k2),这种现象称为冲突,此时称k1和k2为同义词。实际中,冲突是不可避免的,只能通过改进哈希函数的性能来减少冲突。
综上所述,哈希法主要包括以下两方面的内容:
1)如何构造哈希函数
2)如何处理冲突。
一、如何构造哈希函数
构造哈希函数的原则是:①函数本身便于计算;②计算出来的地址分布均匀,即对任一关键字k,f(k) 对应不同地址的概率相等,目的是尽可能减少冲突。
下面介绍构造哈希函数常用的五种方法。
1、数字分析法
如果事先知道关键字集合,并且每个关键字的位数比哈希表的地址码位数多时,可以从关键字中选出分布较均匀的若干位,构成哈希地址。例如,有80个记录,关键字为8位十进制整数d1d2d3…d7d8,如哈希表长取100,则哈希表的地址空间为:00~99。假设经过分析,各关键字中 d4和d7的取值分布较均匀,则哈希函数为:h(key)=h(d1d2d3…d7d8)=d4d7。例如,h(81346532)=43,h(81301367)=06。相反,假设经过分析,各关键字中 d1和d8的取值分布极不均匀, d1 都等于5,d8 都等于2,此时,如果哈希函数为:h(key)=h(d1d2d3…d7d8)=d1d8,则所有关键字的地址码都是52,显然不可取。
2、平方取中法
但无法确定关键字中哪几位分布均匀时,可以先求出关键字的平方值,然后按需要取平方值的中间几位做为哈希地址,这是因为:平方后中间几位和关键字中每一位都相关,故不同关键字会以较高的概率产生不同的哈希地址。
例:我们把英文字母在字母表中的位置序号作为该英文字母的内部编码。例如K的内部编码为11,E的内部编码为05,Y的内部编码为25,A的内部编码为01, B的内部编码为02。由此组成关键字“KEYA”的内部代码为11052501,同理我们可以得到关键字“KYAB”、“AKEY”、“BKEY”的内部编码。之后对关键字进行平方运算后,取出第7到第9位作为该关键字哈希地址,如图8.23所示。
关键字
关键字 | 内部编码 | 内部编码的平方值 | H(k)关键字的哈希地址 |
KEYA | 11052501 | 122157778355001 | 778 |
KYAB | 11250102 | 126564795010404 | 795 |
AKEY | 01110525 | 001233265775625 | 265 |
BKEY | 02110525 | 004454315775625 | 315 |
图8.23平方取中法求得的哈希地址
3.分段叠加法
这种方法是按哈希表地址位数将关键字分成位数相等的几部分(最后一部分可以较短),然后将这几部分相加,舍弃最高进位后的结果就是该关键字的哈希地址。具体方法有折叠法与移位法。移位法是将分割后的每部分低位对齐相加,折叠法是从一端向另一端沿分割界来回折叠(奇数段为正序,偶数段为倒序),然后将各段相加。例如:key=12360324711202065,哈希表长度为1000,则应把关键字分成3位一段,在此舍去最低的两位65,分别进行移位叠加和折叠叠加,求得哈希地址为105和907,如图8.24所示。
1 2 3 1 2 3
6 0 3 3 0 6
2 4 7 2 4 7
1 1 2 2 1 1
+)0 2 0 +) 0 2 0
———————— —————————
1 1 0 5 9 0 7
(a)移位叠加 (b) 折叠叠加
图8.24 由叠加法求哈希地址
4. 除留余数法
假设哈希表长为m,p为小于等于m的最大素数,则哈希函数为
h(k)=k % p ,其中%为模p取余运算。
例如,已知待散列元素为(18,75,60,43,54,90,46),表长m=10,p=7,则有
h(18)=18 % 7=4 h(75)=75 % 7=5 h(60)=60 % 7=4
h(43)=43 % 7=1 h(54)=54 % 7=5 h(90)=90 % 7=6
h(46)=46 % 7=4
此时冲突较多。为减少冲突,可取较大的m值和p值,如m=p=13,结果如下:
h(18)=18 % 13=5 h(75)=75 % 13=10 h(60)=60 % 13=8
h(43)=43 % 13=4 h(54)=54 % 13=2 h(90)=90 % 13=12
h(46)=46 % 13=7
此时没有冲突。
采用一个伪随机函数做哈希函数,即h(key)=random(key)。
在实际应用中,应根据具体情况,灵活采用不同的方法,并用实际数据测试它的性能,以便做出正确判定。通常应考虑以下五个因素 :
- 计算哈希函数所需时间(简单)。
- 关键字的长度。
- 哈希表大小。
- 关键字分布情况。
- 记录查找频率。
二、处理冲突的方法
1、开放定址法
这种方法也称再散列法,其基本思想是:当关键字key的hash地址p=H(key)出现冲突时,以p为基础,产生另一个hash地址p1,如果p1依然冲突,那么以p1为基础,在产生一个hash地址p2,...,直到找出一个不冲突的hash地址pi,将相应元素存入其中。该方法的通用再散列函数式为:Hi=(H(key)+di)%m 0<i<m.其中H(key)是hash函数,m是表长,di是增量序列。根据增量序列的取值方式不同,相应的散列方式也不同。主要有一下三种:
●线性探测再散列
di=1,2,3,…,m-1
这种方法的特点是:冲突发生时,顺序查看表中下一单元,直到找出一个空单元或查遍全表。
用线性探测法处理冲突,思路清晰,算法简单,但存在下列缺点:
① 处理溢出需另编程序。一般可另外设立一个溢出表,专门用来存放上述哈希表中放不下的记录。此溢出表最简单的结构是顺序表,查找方法可用顺序查找。
② 线性探测法很容易产生堆聚现象。所谓堆聚现象,就是存入哈希表的记录在表中连成一片。按照线性探测法处理冲突,如果生成哈希地址的连续序列愈长 ( 即不同关键字值的哈希地址相邻在一起愈长 ) ,则当新的记录加入该表时,与这个序列发生冲突的可能性愈大。因此,哈希地址的较长连续序列比较短连续序列生长得快,这就意味着,一旦出现堆聚 ( 伴随着冲突 ) ,就将引起进一步的堆聚。
●二次探测再散列
di=1^2,-1^2,2^2,-2^2,…,k^2,-k^2 ( k<=m/2 )
这种方法的特点是:冲突发生时,在表的左右进行跳跃式探测,比较灵活。
例子:
通过某一个散列函数对key的关键码进行计算,得到地址值,它是一个非负整数。
Hi=hash(x)
二次探测再散列在表中寻找下一个空桶的公式为:
Hi=(H0+i²)%m,
Hi=(H0-i²)%m,0<i<(m-1)/2
公式中m是表的长度,在做H0-i²的运算时,如果H0-i²<0时,运算结果也是负数。
实际算式可以改为
if((j=(H0+i²)%m)<0)j+=m
●伪随机探测再散列
di=伪随机数序列。
具体实现时,应建立一个伪随机数发生器,(如i=(i+p) % m),并给定一个随机数做起点。
例如,已知哈希表长度m=11,哈希函数为:H(key)= key % 11,则H(47)=3,H(26)=4,H(60)=5,假设下一个关键字为69,则H(69)=3,与47冲突。如果用线性探测再散列处理冲突,下一个哈希地址为H1=(3 + 1)% 11 = 4,仍然冲突,再找下一个哈希地址为H2=(3 + 2)% 11 = 5,还是冲突,继续找下一个哈希地址为H3=(3 + 3)% 11 = 6,此时不再冲突,将69填入5号单元,参图8.26 (a)。如果用二次探测再散列处理冲突,下一个哈希地址为H1=(3 + 12)% 11 = 4,仍然冲突,再找下一个哈希地址为H2=(3 - 12)% 11 = 2,此时不再冲突,将69填入2号单元,参图8.26 (b)。如果用伪随机探测再散列处理冲突,且伪随机数序列为:2,5,9,……..,则下一个哈希地址为H1=(3 + 2)% 11 = 5,仍然冲突,再找下一个哈希地址为H2=(3 + 5)% 11 = 8,此时不再冲突,将69填入8号单元。
下图为图例:
从上述例子可以看出,线性探测再散列容易产生“二次聚集”,即在处理同义词的冲突时又导致非同义词的冲突。线性探测再散列的优点是:只要哈希表不满,就一定能找到一个不冲突的哈希地址,而二次探测再散列和伪随机探测再散列则不一定。
2、再哈希法
Hi=RH₁(key) i=1,2,…,k
当哈希地址Hi=RH₁(key)发生冲突时,再计算Hi=RH₂(key)...,直到冲突不再产生。这种方法不容易产生聚焦,但是增加了计算时间。
3、链地址法
这种方法的基本思想是将所有哈希地址为i的元素构成一个称为 同义词链的单链表,并将单链表的头指针存在哈希表的第i个单元,因而查找、插入和删除主要在 同义词链中进行。链地址法适用于经常进行插入和删除的情况。 这也是jdk中的hashtable和hashMap所使用的冲突解决方案。
例如,已知一组关键字(32,40,36,53,16,46,71,27,42,24,49,64),哈希表长度为13,哈希函数为:H(key)= key % 13,则用链地址法处理冲突的结果如图8.27所示:
与开放定址法相比,拉链法有如下几个优点:
①拉链法处理冲突简单,且无堆积现象,即非同义词决不会发生冲突,因此平均查找长度较短;
②由于拉链法中各链表上的结点空间是动态申请的,故它更适合于造表前无法确定表长的情况;
③开放定址法为减少冲突,要求装填因子α较小,故当结点规模较大时会浪费很多空间。而拉链法中可取α≥1,且结点较大时,拉链法中增加的指针域可忽略不计,因此节省空间;
④在用拉链法构造的散列表中,删除结点的操作易于实现。只要简单地删去链表上相应的结点即可。而对开放定址法构造的散列表,删除结点不能简单地将被删结 点的空间置为空,否则将截断在它之后填人散列表的同义词结点的查找路径。这是因为各种开放定址法中,空地址单元(即开放定址)都是查找失败的条件。因此在 用开放定址法处理冲突的散列表上执行删除操作,只能在被删结点上做删除标记,而不能真正删除结点。
拉链法的缺点
拉链法的缺点是:指针需要额外的空间,故当结点规模较小时,开放定址法较为节省空间,而若将节省的指针空间用来扩大散列表的规模,可使装填因子变小,这又减少了开放定址法中的冲突,从而提高平均查找速度。
参考引用:
http://www.360doc.com/content/14/0721/09/16319846_395862328.shtml
http://blog.csdn.net/willfcareer/article/details/6687117
http://blog.csdn.net/jnu_simba/article/details/9668369