摘要:Kronig-Penny模型是能带理论的经典模型,但大多数教科书仅止步于说明能带间隙的产生,而没有返回讨论波函数的定性分布情况。本文第一、二部分罗列了经典的求解过程,第三部分用数值计算的方法,重点讨论了特定能量下的波函数分布,给出直观的呈现,第四部分做定性半定量讨论。
0. Question
存在以上周期势场,求电子波函数分布?最后可以通过
b→0,U0→∞,bU0=常数来化简问题。其中的技巧是要用到布洛赫函数的性质:
ψ(x+T)=ψ(x)eikT
用人话表述是:晶体中电子波函数具有调幅的平面波形式。
1.Basic Equation
−b<x<0
ψ(x)=CeQx+De−Qx,Q2=ℏ22m(U0−E)
0<x<a
ψ(x)=AeiKx+Be−iKx,K2=ℏ22mE
a<x<a+b
ψ(x)=[CeQ(x−a−b)+De−Q(x−a−b)]eik(a+b)
x=0处
ψ(x),ψ(x)′连续:
A+B=C+DiK(A−B)=Q(C−D)
x=a处
ψ(x),ψ(x)′连续:
AeiKa+Be−iKa=(Ce−Qb+DeQb)eik(a+b)iK(AeiKa−Be−iKa)=Q(Ce−Qb−DeQb)eik(a+b)
有解条件是系数行列式为0,物理意义是这里的振幅没有归一化,全是成比例的,所以需要可约化。
[2QK(Q2−K2)]sinh(Qb)sin(Ka)+cosh(Qb)cos(Ka)=cos(ka+kb)
为了简化问题,令$b=0,U_0\to \infty ,Q^2ab/2\equiv P $ ,即为周期性
δ(x)势场,也成为狄拉克梳。此时可化为:
KaPsin(Ka)+cos(Ka)=cos(ka)
2.More Details
为了便于数值求解,令
a=1,P=3π/2,系数行列式可化为:
K1.5πsin(K)+cos(K)=cos(k)
横轴表示
K(能量)随逐渐变大,但等式右边的值必须介于
[−1,1]否则得不到波矢量
k的值,因此
K的取值是有限制的,这就是解释了为什么会存在禁带。图中我们看到最小的能量在“1”处,对应
K=2.251,这与自由电子最小能量从零开始是不一样的。“3”和“4”的波矢均为
π,但两者存在能量差,这就是两分立能级间的禁带宽度。能带图如下:
一般我们只看第一布里渊区的能谱图。
3.波函数
为了更直观地表现粒子的运动状态,我们用数值计算“1”-"6"对应一个周期
[0,1]内的波函数分布
∣ψ(x)∣2。
n123456K2.2512.6313.1414.7155.4286.280cos(k)10−1−101k0π/2ππ−π/20
ψ(x)=AeiKx+Be−iKx
这里可先令
A=1,b=0.0001,求得
B:
B=eik(ibK+1)−e−iKeik(ibK−1)+eiK
再对
∫01∣ψ(x)2∣dx=1做归一化。
ψ(x)=E
ψ(x)E=1+∣B∣2+2sin(K)/K[real(B)∗cos(K)+imag(B)∗sin(K)]
经过简单的数值运算,得到
4.Discussion
- 容易看出,第一能带有一个峰,第二能带有两个峰,当能量逐渐增大时,峰越来越往里“挤”;
- 第一能带由低能到高能,
k由
0→π。第二能带由低能到高能,
k由
π→0;
- 相同的
k值可以对应不同能带中对应的能量;
- 最后给个有趣的现象,当第一能带逐渐增大时,在
k=π时有波形的突变,这也是和自由电子很不一样的地方,这也正是狄拉克梳势场的结果:
结论对其他能带同样适用。
- 另外可以自行体会价带顶和导带底波形的异同点。