问题和来源

微博上有网友放出如下问题，1000元征集一个解：

#数学题征婚## 最近流行套路白富美数学题征婚，我也来出一个题目很简单的数学题，有本事的数学爱好者和IT男、IT女可以来试试。
埃及分数是指分子是1的分数，也叫单位分数。古代埃及人在进行分数运算时。只使用分子是1的分数。因此这种分数也叫做埃及分数，或者叫单分子分数。单位分数分解很有意思。
1的单位分数分解很容易解答也很多，但我们加强一下，要求其中一项是所有其它项的乘积，就是求 ∑1/ai+1/Πai=1的整数解。比如1=1/2+1/3+1/(23)，
1=1/2+1/3+1/7+1/(23*7)，
所以{2,3}、｛2，3，7｝就是要求的两组解。
现在如果谁求出一个不包含偶数的解，我可以个人奖励1000元，帮忙推荐等，可以邮件联系[email protected]。

@数学文化 @caoz @王思聪 @哆嗒数学讲堂 @万精油微博

吸引@ 数学文化、万精油 的关注还可以理解，找创业投资界@ 王思聪 ？显然不是纯数学动机

数学题征解微博链接

好在这道题没有限制“奇数”的个数，如果是有限个，很可能能证明精确解不存在。我这里给出另外一种简单的解，把“非偶数”分母个数推广到“无穷多”（或可列个，与正整数个数同一个数量级）解决这个问题。

思路及解答

考虑如下几个已知结果：

$\frac{1}{2}{\rm{ = }}\sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {{3^{{{ - k}}}}} \tag{1}$

$\frac{1}{4}{\rm{ = }}\sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {{5^{{{ - k}}}}} \tag{2}$

$\frac{1}{6}{\rm{ = }}\sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {{7^{{{ - k}}}}} \tag{3}$

$\frac{1}{12}{\rm{ = }}\sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {{13^{{{ - k}}}}} \tag{4}$

$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}\tag{5}$

显然1可以表示为一个无穷级数的形式，这个形式是一个：infinite Egyptian Fraction 展开。而且每两个奇数都不想等。所有这些奇数的乘积在这个极限的意义之下为0（也就是原来问题中最重要的一项，变成0了），从而，问题的解找到了。

$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\left(3^{ - k}+5^{-k}+7^{-k}+13^{-k}\right)} +\lim\limits_{n\to{+\infty}}1365^{-n(n+1)/2}$
其中 $1365=3\times 5\times 7\times 13$
最后一项为0，所以答案就是：
$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\left(3^{ - k}+5^{-k}+7^{-k}+13^{-k}\right)}$

后续

不知道这1000元会不会兑现？

他果然耍赖了：增加了一个“数学界认可”这个新要求。

我解之前一个素数分解的问题，也只是出于防止不明真相网友上当的意思，顺便熟悉下好久不碰的软件和代码，如此而已了。