1. 问题描述

$n$个工件，每个工件都要按顺序经过 $A$、 $B$两个机床进行加工，工件i在 $A$、 $B$两个机床上加工时间分别为 $a_i$， $b_i$，确定 $n$个工件的加工顺序，使得总加工时间最短。

2. 例子描述

• 例子1

先加工N1，所需总时间为4＋2＋3＝9，先加工N2，所需总时间为2＋4＋1＝7。

• 例子2

加工顺序为13542。

3. 问题解决

状态(X,t)： $X$中是还没有经过 $A$机床加工的工件， $t$是 $B$机床加工X外的工件还需要的时间，如果取 为下一个放在 $A$上加工的工件，则i在 $A$上完成加工时达到下一个状态 $(X－i，z_i(t))$，其中
$\begin{aligned} z_{i}(t) &=\left\{\begin{array}{ll}{b_{i},} & {t \leq a_{i}} \\ {t-a_{i}+b_{i},} & {t>a_{i}}\end{array}\right. \\ &=\max \left\{t-a_{i}, 0\right\}+b_{i} \\ &=\max \left\{t-a_{i}+b_{i}, b_{i}\right\} \end{aligned}$
  令 $f(X,t)$为处于状态 $(X,t)$时剩余的最优排工时间，则 $f(X,t)$是 $t$的单调上升函数，且
$\left\{\begin{array}{l}{f(X, t)=\min _{i \in X}\left\{a_{i}+f\left(X-i, z_{i}(t)\right)\right\}} \\ {f(\phi, t)=t}\end{array}\right.$
$f({1,2,…,n},0)$即为 $n$个工件的最优加工时间。
  在状态 $(X,t)$时对于X中的两个工件 $i, j$，下面讨论应该先加工 $i$还是先加工 $j$才能使得剩余加工时间最少。
  如果先加工 $i$，则剩余最优加工时间记为
$f(X, t, i)=a_{i}+f\left(X-i, z_{i}(t)\right)$
如果接着下一个加工 $j$，则最优加工时间为
$f(X, t, i, j)=a_{i}+a_{j}+f\left(X-i-j, z_{j}\left(z_{i}(t)\right)\right)$
其中
$\begin{aligned} & z_{j}\left(z_{i}(t)\right)=\max \left\{z_{i}(t)-a_{j}, 0\right\}+b_{j} \\=& \max \left\{z_{i}(t)-a_{j}+b_{j}, b_{j}\right\} \\=& \max \left\{\max \left\{t-a_{i}+b_{i}, b_{i}\right\}-a_{j}+b_{j}, b_{j}\right\} \\=& \max \left\{t-a_{i}-a_{j}+b_{i}+b_{j}, b_{i}+b_{j}-a_{j}, b_{j}\right\} \end{aligned}$
同理，如果状态 $(X,t)$时先加工 $j$，再加工 $i$，则最好加工时间为
$\begin{array}{c}{f(X, t, j, i)=a_{i}+a_{j}+f\left(X-i-j, z_{i}\left(z_{j}(t)\right)\right)} \\ {z_{i}\left(z_{j}(t)\right)=\max \left\{t-a_{t}-a_{j}+b_{i}+b_{j}, b_{i}+b_{j}-a_{i}, b_{i}\right\}}\end{array}$
由 $f(X,t)$是 $t$的单调上升函数，要想 $f(X, t, i, j) \leq f(X, t, j, i)$，只要
$z_{j}\left(z_{i}(t)\right) \leq z_{i}\left(z_{j}(t)\right)$
即
$\begin{array}{c}{\max \left\{t-a_{i}-a_{j}+b_{i}+b_{j}, b_{i}+b_{j}-a_{j}, b_{j}\right\}} \\ { \leq \max \left\{t-a_{i}-a_{j}+b_{i}+b_{j}, b_{i}+b_{j}-a_{i}, b_{i}\right\}}\end{array}$
只需要
$\begin{array}{l}{\max \left\{b_{i}+b_{j}-a_{j}, b_{j}\right\} \leq \max \left\{b_{i}+b_{j}-a_{i}, b_{i}\right\}} \\ {\max \left\{-a_{j},-b_{i}\right\} \leq \max \left\{-a_{i},-b_{j}\right\}} \\ {\min \left\{a_{i}, b_{j}\right\} \leq \min \left\{a_{j}, b_{i}\right\}}\end{array}$
即可。

分割线

这个问题来源于组合优化这门课程，课堂上老师还要我们证明了这个“只需要”的过程，想了好久没想到，然后参考了我们班的大佬旭哥的证明，证明过程如下
用 $a,b,t,s,c,d$代替 $t-a_{i}-a_{j}+b_{i},b_i+b_j,a_j,a_i,b_j,b_i$。
则
$\begin{array}{c}{\max \left\{a,b-t,c\right\}} \\ { \leq \max \left\{a,b-s,d\right\}}\end{array}$
只需要
$\max\{b-t,c\} \leq\max\{b-s,d\}$
令 $A=\{a,b-t,c\},B=\{a,b-s,d\},C=\{b-t,c\},D=\{b-s,d\}$
只需证 $\max C \leq \max D$，则 $\max A \leq \max B$必成立。

1. 若 $a$是 $A$中的最大值，则 $\max A \leq a \leq \max B$。即无论 $\max C$和 $\max D$的关系如何， $\max A \leq \max B$必然成立。
2. 若 $a$不是 $A$中的最大值，则 $\max A = \max C$，又当 $\max C \leq \max D$时，而 $\max B \geq \max D$，
   因此有 $\max A = \max C \leq \max B$。
   综合上述，若 $\max C \leq \max D$，则 $\max A \leq \max B$必成立。