一、100以内的质数输出

1. 概念解释

质数：“除了1和它本身外，没有其他约数” 的数【即，数字 n 只能被 1 和 自身n 整除，此外不能被 2 ~ (n-1) 整除】；

2. 代码实现

1)、 基础版一（不加break跳出循环）

/**
 * 基础版一：不加 break
 */
public static void forForTest4_1(){
	long start = System.currentTimeMillis(); //开始时间

	boolean isFlag = true; //标记位（标记当前i是否为质数）

	for(int i = 2; i <= 100000; i++){ //最小的质数是2
		int j = 2; //从2开始，到i-1为止，没有i的因子
		while(j <= i - 1){
			if(i % j == 0){
				isFlag = false;
				//break;
			}
			j++;
		}
		
		if(isFlag == true){ //说明if根本没进去过，即：不存在其他因子
			System.out.println(i);
		}
		
		isFlag = true; //重置isFlag标记位
	}
	
	long end = System.currentTimeMillis(); //结束时间
	System.out.println();
	System.out.println("程序运行时间为：" + (end - start) + " ms");
}

2)、 基础版二（加break）

【这里我没有使用标记位 isFlag，直接使用循环计数器 i 和 j 作为判断条件了，但实际上效果一样，效率也没什么差别】

/**
 * 基础版二：加 break
 */
public void forForTest4_2(){
		long start = System.currentTimeMillis(); //开始时间
		
		for(int i = 2; i <= 100000; i++){ //最小的质数是2
			int j = 2; //从2开始，到i-1为止，没有i的因子
			while(j <= i - 1){
				if(i % j == 0){
					break;
				}
				j++;
			}
			
			if(j == i){ //说明if根本没进去过，即：不存在其他因子
				System.out.println(i);
			}
		}
		
		long end = System.currentTimeMillis(); //结束时间
		System.out.println();
		System.out.println("程序运行时间为：" + (end - start) + " ms");
	}

3. 优化实现

1)、 优化点

• ①. 当遍历过程中，遇到 i % j == 0 的情况时，已经判断出必然不是质数了，直接break【已经得出结论，后续循环无意义】
• ②. 内存循环不必遍历到 （i-1），只需遍历到 $\sqrt[]{i}$ 即可【因为，首先，例如：10 / 7，>i/2 往后根本不必考虑，不可能除的尽；其次，例如：10=5*2，因子都是成对出现，前面能除尽，后面也不用判断了（不可能后面除的尽，前面除不尽），而此处这个临界值 i 就是 i²=10】
• ③. //2是质数，而且除此之外，偶数不可能是质数（至少多有一个因子2），因此外层循环可以考虑 i+=2【优化为O(n/2)，但实际上时间复杂度从量级上来说并没有变，仍是O(n)】

【-----记得截图：不加break，加break，范围i/2，范围根号i】

2). 代码实现

/**
 * 优化点：
 * 	①. 当遍历过程中，遇到 i % j == 0 的情况时，已经判断出必然不是质数了，直接break【已经得出结论，后续循环无意义】
 *	②. 内层循环不必遍历到 (i-1)，只需遍历到 i/2，因为后面根本不可能会除的尽【例如：10 / 7，根本不必考虑，>i/2 后根本不可能除尽】
 *			---> 可以进一步优化，实际上只需要考虑到 "根号i"，【因为例如：10=5*2，因子都是成对出现，前面能除尽，后面也不用判断了（不可能后面能除尽，前面除不尽），临界值就是 i²=10】
 *	③. //众所周知，2是质数，而且除此之外，偶数不可能是质数（至少多有一个因子2），因此外层循环 i+=2【优化为O(n/2)，但实际上时间复杂度从量级上来说并没有变，仍是O(n)】
 */
/* 优化版 */
public void forForTest4_3(){
	long start = System.currentTimeMillis(); //开始时间
	
	boolean isFlag = true; //标记位（标记当前i是否为质数）

	for(int i = 2; i <= 100000; i++){ //最小的质数是2
		int j = 2; //从2开始，到i-1为止，没有i的因子
		while(j <= Math.sqrt(i)){ //优化点二【对本身是质数的自然数有效（非质数理论上也有效，但实际执行上来说，不等到根号i，就break了）】
			if(i % j == 0){
				isFlag = false;
				break; //优化点一【只对本身是非质数的自然数有效】
			}
			j++;
		}
		
		if(isFlag){ //说明if根本没进去过，即：不存在其他因子
			System.out.println(i);
		}
		
		isFlag = true; //重置isFlag标记位
	}
	
	long end = System.currentTimeMillis(); //结束时间
	System.out.println();
	System.out.println("程序运行时间为：" + (end - start) + " ms");
}

4. 使用带标签的 continue / break

【continue / break 默认是跳出包裹的循环中最近的一层，而使用带标签的 continue / break，则可以指定跳出某层循环（标签指定）】

/* 带标签的continue版 */
public void forForTest4_4(){
	long start = System.currentTimeMillis(); //开始时间
	
	label : for(int i = 2; i <= 100000; i++){ //最小的质数是2 //优化点③
		int j = 2; //从2开始，到i-1为止，没有i的因子
		while(j <= Math.sqrt(i)){
			if(i % j == 0){
				continue label; //【使用带标签的break或continue】
			}
			j++;
		}
		
		System.out.println(i);
	}
	
	long end = System.currentTimeMillis(); //结束时间
	System.out.println();
	System.out.println("程序运行时间为：" + (end - start) + " ms");
}

5. 效率分析（测试 100000 以内的质数）

【实际上，为了防止 System.out.println() 输出对执行时间的干扰，这里测试只是简单的对质数进行了计数 “count++”，没有进行输出，从而最大程度的显示不同实现算法的效率差异】

补充：衡量一个功能代码的优劣：

• 正确性
• 可读性
• 健壮性
• 高效率和低存储（时间复杂度 & 空间复杂度，衡量一个算法的好坏）