求最大公约数实验报告

一． 题目要求
运行最大公约数的常用算法，明确算法的概念和特点，并进行程序的测试，通过对问题的分析，设计合理解决问题的方法。

二． 问题分析
2.1题目分析
计算最大公约数有不同的算法，不同的算法能解决相同的求最大公约数的问题，本程序
中计算最大公约数的算法有辗转相除法、穷举法、更相减损法和stein算法，这四种算法的解题思路不同，时间复杂度不同，其解题效率也不尽相同。

2.2算法思路
先分别用四种算法求出一组m和n的最大公约数，判断四个算法是否都是可行的，然后再添加能产生随机数组的函数，进行多个数组的测试，最后再调用时间函数，分别计算四种算法计算同样的数组所耗费的时间并输出，从而得到最优算法。并进行程序的多次测试，减小实验误差，避免偶然性，从而得到四种算法的平均时间。

三． 模块分析

3.1辗转相除法
⑴ 原理：
用较大数除以较小数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。设两数为a，b，设其中a做被除数，b做除数，temp为余数。
① 大数放a中，小数放b中；
② 求a÷b的余数temp；
③ 若temp=0，则b为最大公约数；
④ 如果temp！=0，则把b的值给a，temp的值给a；
⑤ 返回第二步

⑶时间复杂度分析：
辗转相除法在最坏情况下所需的模运算次数和输入的a和b的大小关系如下：
设a>b>=1(若a<b我们只需多做一次模运算, 若b=0或a=b模运算的次数分别为0和1), 构造数列{un}: u0=a, u1=b, uk=uk-2 mod uk-1(k>=2), 显然, 若算法需要n次模运算, 则有un=gcd(a, b), un+1=0. 我们比较数列{un}和菲波那契数列{Fn}, F0=1<=un, F1=1<=un-1, 又因为由uk mod uk+1=uk+2, 可得uk>=uk+1+uk+2, 由数学归纳法容易得到uk>=Fn-k, 于是得到a=u0>=Fn, b=u0>=Fn-1. 也就是说如果欧几里得算法需要做n次模运算, 则b必定不小于Fn-1. 换句话说, 若 b<Fn-1, 则算法所需模运算的次数必定小于n. 根据菲波那契数列的性质, 有Fn-1>(1.618)n/sqrt(5), 即b>(1.618)n/sqrt(5), 所以模运算的次数为O(lgb).故辗转相除法的时间复杂度为O(lgb)。

（4）代码
int divisor(int a,int b)//辗转相除法
{
int temp;
if(a<b)
{
temp=a;a=b;b=temp;}
while(b!=0)
{
temp=a%b;
a=b;
b=temp;
}
return (a);
}

3.2穷举法
（1）原理
穷举法的基本思想是根据题目的部分条件确定答案的大致范围，并在此范围内对所有可能的情况逐一验证，直到全部情况验证完毕。若某个情况验证符合题目的全部条件，则为本问题的一个解；若全部情况验证后都不符合题目的全部条件，则本题无解。穷举法也称为枚举法。对于两个正整数a，b，如果能在区间【a,0】或【b,0】内找到一个整数temp能同时被a，b所整除，则temp即为最大公约数。

（3）时间复杂度
穷举法的时间复杂度为O（n）
（4）代码
int divisor2(int a,int b)//穷举法
{
int temp;
temp=(a>b)?b:a;
while(temp>0)
{
if(a%temp0&&b%temp0)
break;
temp–;
}
return(temp);
}

3.3更相减损法
（1）原理：
如果需要对分数进行约分，可以折半的话，就折半（也就是用2来约分）。如果不可以折半的话，那么就比较分母和分子的大小，用大数减去小数，互相减来减去，一直到减数与差相等为止，用这个相等的数字来约分。
第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。
其中所说的“等数”，就是最大公约数。

（3）时间复杂度
在更相减损法在计算过程中，如果遇到一个数很大，另一个数比较小的情况，可能要进行很多次减法才能达到一次除法的效果，从而使得算法的时间复杂度退化为O(N)，其中N是原先的两个数中较大的一个。

（4）代码
int gcd(int m,int n)//更相减损法
{
int temp,i=0,x;
while(m%20&&n%20)
{
m/=2;
n/=2;
i+=1;
}
if(m<n)
{
temp=m;
m=n;
n=temp;
}
while(x)
{
x=m-n;
m=(n>x)?n:x;
n=(n<x)?n:x;
if(nm-n)
break;
}
if(i0)
return n;
else
return(int)2in;
}

3.4stein算法
（1）原理
Stein算法是一种计算两个数最大公约数的算法，是针对欧几里德算法在对大整数进行运算时，需要试商导致增加运算时间的缺陷而提出的改进算法。
1、如果An=Bn,那么An(或Bn)Cn是最大公约数,算法结束
2、如果An=0，Bn是最大公约数，算法结束
3、如果Bn=0，An是最大公约数，算法结束
4、设置A1=A、B1=B和C1=1
5、如果An和Bn都是偶数，则An+1=An/2，Bn+1=Bn/2，Cn+1=Cn2(注意，乘2只要把整数左移一位即可，除2只要把整数右移一位即可)
6、如果An是偶数，Bn不是偶数，则An+1=An/2，Bn+1=Bn，Cn+1=Cn(很显然啦，2不是奇数的约数)
7、如果Bn是偶数，An不是偶数，则Bn+1=Bn/2，An+1=An，Cn+1=Cn(很显然啦，2不是奇数的约数)
8、如果An和Bn都不是偶数，则An+1=|An-Bn|/2，Bn+1=min(An,Bn)，Cn+1=Cn
9、n加1，转1

（3）时间复杂度
欧几里德算法每次迭代中最恶劣的情况是，a=2b-1，这样，迭代后，r=b-1。如果a小于2^N，这样大约需要4N次迭代。而Stein算法，每次迭代后，显然AN+1BN+1≤ ANBN/2，最大迭代次数也不超过4N次。也就是说，迭代次数几乎是相等的。但是，需要注意的是，对于大素数，试商法将使每次迭代都更复杂，因此对于大素数，Stein算法将更有优势。

（4）代码
int Stein(unsigned int x,unsigned int y) //stein算法
{
int factor=0;
int temp;
if(x<y)
{
return 0;
}
while(x!=y)
{
if(x&0X1)
{
if(y&0x1)
{
y=(x-y)>>1;
x-=y;
}
else
{
y>>=1;
}
}
else
{
if(y&0x1)
{
x>>=1;
if(x<y)
{
temp=x;
x=y;
y=temp;
}
}
else
{
x>>=1;
y>>=1;
++factor;
}
}
}
return(x<<factor);
}

四． 总结
开始在程序算法设计中也遇到了很多的问题，比如随机数组的使用问题，开始调试时
总是有问题，通过查阅资料，重新对for循环的使用，使随机函数的调用能产生自定义的随机数。其次，在四种算法的时间输出总是有问题，有时候时间输出总是很小甚至为0，通过对程序的反复检查，才发现是函数传参有问题，最后通过修改一一解决了问题。
通过对算法的比较，发现计算两个数的最大公约数，穷举法所花费时间最多，辗转相除法平均花费时间较少一些。在实验过程中，不同的算法解题思路不同，运行效率和时间复杂度也不尽相同，我们在以后的编程学习中，要通过对算法的比较分析，运用最优算法来解决问题，减少算法时间的过多浪费。
通过此次的上机实验题，让我对这四种求最大公约数的算法有了更加深入的理解，同时也增强了我的动手能力与实践能力，让我对编程也提高了一定的兴趣。我相信在今后的学习中，我将会收获更多。