量子态层析(quantum state tomography)
量子层析可以分为:量子态层析 和 量子过程层析。这里介绍一下量子态层析。所谓的量子态层析,就是指的是如何通过测量的方式得到态密度
ρ
\rho
ρ 。 态密度是我们常用的,描述量子态的纯度等量子态的好坏量。它的定义如下:
ρ
=
∑
0
n
P
n
∣
φ
n
⟩
⟨
φ
n
∣
\rho = \sum_0^n P_n |\varphi_n\rangle\langle \varphi_n|
ρ = 0 ∑ n P n ∣ φ n ⟩ ⟨ φ n ∣ 其中,
P
n
P_n
P n 是产生这个态
∣
φ
n
⟩
|\varphi_n\rangle
∣ φ n ⟩ 的概率,或是它占所有态的比重。
1-qubit的量子态层析
1-qubit的定义的只有一个可以变化的位置,且这个位置只能去0或者1. 因此可以写成:
∣
φ
⟩
=
cos
θ
2
∣
0
⟩
+
sin
θ
2
e
i
ϕ
∣
1
⟩
|\varphi\rangle=\cos\frac\theta2|0\rangle+\sin\frac\theta2e^{i\phi}|1\rangle
∣ φ ⟩ = cos 2 θ ∣ 0 ⟩ + sin 2 θ e i ϕ ∣ 1 ⟩ 其中有两个变量
θ
\theta
θ 和
ϕ
\phi
ϕ 。因此1-qubit的密度矩阵是个2维矩阵。
ρ
=
(
a
00
a
01
a
10
a
11
)
\rho=\begin{pmatrix}a_{00}& a_{01}\\a_{10}&a_{11}\\ \end{pmatrix}
ρ = ( a 0 0 a 1 0 a 0 1 a 1 1 ) 考虑到密度矩阵满足的性质:
Tr
ρ
=
1
ρ
=
ρ
†
\text{Tr } \rho=1\\ \rho =\rho^\dag
Tr ρ = 1 ρ = ρ † 因此得到,
a
00
a_{00}
a 0 0 和
a
11
a_{11}
a 1 1 是实数。
a
10
a_{10}
a 1 0 =
a
01
†
a_{01}^\dag
a 0 1 † 。因此,决定这个密度矩阵的分别是4个实数:
a
00
,
a
11
,
Re
a
10
,
Im
a
10
a_{00},a_{11},\text{Re }a_{10},\text{Im }a_{10}
a 0 0 , a 1 1 , Re a 1 0 , Im a 1 0 因此,我们可以把他们拆解为如下的形式:
ρ
=
a
00
(
1
0
0
0
)
+
a
11
(
0
0
0
1
)
+
Re
a
10
(
0
1
1
0
)
+
Im
a
10
(
0
−
i
i
0
)
\rho=a_{00}\begin{pmatrix} 1&0\\0&0\end{pmatrix}+a_{11}\begin{pmatrix}0&0\\0&1 \end{pmatrix}+\text{Re }a_{10}\begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix}+\text{Im }a_{10}\begin{pmatrix} 0&-i\\i&0\end{pmatrix}
ρ = a 0 0 ( 1 0 0 0 ) + a 1 1 ( 0 0 0 1 ) + Re a 1 0 ( 0 1 1 0 ) + Im a 1 0 ( 0 i − i 0 ) 分解的前三项描述的是它的实部,最后一项描述的是它的虚部。上述4个矩阵中的任意两个的乘积都是0,自己和自己的乘积是
I
I
I .
以光子为例 光的偏振一般有三种分解的方法:水平/竖直,斜45度,左/右旋,对应的态分别为(未归一化):
∣
H
⟩
=
∣
0
⟩
,代表水平偏振
∣
V
⟩
=
∣
1
⟩
,代表竖直偏振
∣
D
⟩
=
∣
0
⟩
+
∣
1
⟩
,代表右上斜45度偏振
∣
A
⟩
=
∣
0
⟩
−
∣
1
⟩
,代表左上斜45度偏振
∣
R
⟩
=
∣
0
⟩
+
i
∣
1
⟩
,代表右旋偏振
∣
L
⟩
=
∣
0
⟩
−
i
∣
1
⟩
,代表左旋偏振
\begin{aligned} &|H\rangle=|0\rangle& \text{,代表水平偏振}\\ &|V\rangle=|1\rangle& \text{,代表竖直偏振}\\ &|D\rangle=|0\rangle+|1\rangle& \text{,代表右上斜45度偏振}\\ &|A\rangle=|0\rangle-|1\rangle& \text{,代表左上斜45度偏振}\\ &|R\rangle=|0\rangle+i|1\rangle& \text{,代表右旋偏振}\\ &|L\rangle=|0\rangle-i|1\rangle& \text{,代表左旋偏振}\\ \end{aligned}
∣ H ⟩ = ∣ 0 ⟩ ∣ V ⟩ = ∣ 1 ⟩ ∣ D ⟩ = ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ ∣ A ⟩ = ∣ 0 ⟩ − ∣ 1 ⟩ ∣ R ⟩ = ∣ 0 ⟩ + i ∣ 1 ⟩ ∣ L ⟩ = ∣ 0 ⟩ − i ∣ 1 ⟩ ,代表水平偏振 ,代表竖直偏振 ,代表右上斜 45 度偏振 ,代表左上斜 45 度偏振 ,代表右旋偏振 ,代表左旋偏振 因此,我们可以得到:
P
^
H
=
∣
H
⟩
⟨
H
∣
=
(
1
0
0
0
)
P
^
V
=
∣
V
⟩
⟨
V
∣
=
(
0
0
0
1
)
P
^
D
−
P
^
A
=
(
0
1
1
0
)
P
^
R
−
P
^
L
=
(
0
−
i
i
0
)
\begin{aligned} &\hat{P}_H=|H\rangle\langle H|=\begin{pmatrix} 1& 0\\0&0\end{pmatrix}\\ &\hat{P}_V=|V\rangle\langle V|=\begin{pmatrix} 0& 0\\0&1\end{pmatrix}\\ &\hat{P}_D-\hat{P}_A=\begin{pmatrix} 0& 1\\1&0\end{pmatrix}\\ &\hat{P}_R-\hat{P}_L=\begin{pmatrix} 0& -i\\i&0\end{pmatrix} \end{aligned}
P ^ H = ∣ H ⟩ ⟨ H ∣ = ( 1 0 0 0 ) P ^ V = ∣ V ⟩ ⟨ V ∣ = ( 0 0 0 1 ) P ^ D − P ^ A = ( 0 1 1 0 ) P ^ R − P ^ L = ( 0 i − i 0 ) 带入1-qubit的密度矩阵的表达式。我们可以得到:
a
00
=
P
H
=
⟨
P
^
H
⟩
a
11
=
P
V
=
⟨
P
^
V
⟩
2
Re
a
01
=
P
D
−
P
A
=
⟨
P
^
D
−
P
^
A
⟩
2
Im
a
10
=
P
R
−
P
L
=
⟨
P
^
R
−
P
^
L
⟩
\begin{aligned} &a_{00}=P_H=\langle\hat{P}_H\rangle\\ &a_{11}=P_V=\langle\hat{P}_V\rangle\\ &2\text{Re }a_{01}=P_D-P_A=\langle\hat{P}_D-\hat{P}_A\rangle\\ &2\text{Im }a_{10}=P_R-P_L=\langle\hat{P}_R-\hat{P}_L\rangle \end{aligned}
a 0 0 = P H = ⟨ P ^ H ⟩ a 1 1 = P V = ⟨ P ^ V ⟩ 2 Re a 0 1 = P D − P A = ⟨ P ^ D − P ^ A ⟩ 2 Im a 1 0 = P R − P L = ⟨ P ^ R − P ^ L ⟩
综上:我们可以分别测量H,V,D,A,R和L的平均值,组合,得到它的密度矩阵。其密度矩阵可以表达为如下的形式:
Re
ρ
=
(
P
H
(
P
D
−
P
A
)
/
2
(
P
D
−
P
A
)
/
2
P
V
)
Im
ρ
=
(
0
(
P
L
−
P
R
)
/
2
(
P
R
−
P
L
)
/
2
0
)
\begin{aligned} &\text{Re }\rho=\begin{pmatrix}P_H&(P_D-P_A)/2\\(P_D-P_A)/2&P_V\end{pmatrix}\\ \\ &\text{Im }\rho=\begin{pmatrix}0&(P_L-P_R)/2\\(P_R-P_L)/2&0\end{pmatrix}\\ \end{aligned}
Re ρ = ( P H ( P D − P A ) / 2 ( P D − P A ) / 2 P V ) Im ρ = ( 0 ( P R − P L ) / 2 ( P L − P R ) / 2 0 )
2-qubit 量子态层析
通过1-qubit的启发,我们也以一种对称的取法,去分解相应的密度矩阵。首先我们分解一下密度矩阵的实数部分:
Re
ρ
=
+
a
00
(
1
)
+
a
11
(
1
)
+
a
22
(
1
)
+
a
33
(
1
)
+
Re
a
01
(
1
1
)
+
Re
a
02
(
1
1
)
+
Re
a
03
(
1
1
)
+
Re
a
12
(
1
1
)
+
Re
a
13
(
1
1
)
+
Re
a
23
(
1
1
)
\begin{aligned} \text{Re }\rho&= +a_{00}\begin{pmatrix}1&&&\\&&&\\&&&\\&&&\end{pmatrix} +a_{11}\begin{pmatrix}&&&\\&1&&\\&&&\\&&&\end{pmatrix}\\ &+a_{22}\begin{pmatrix}&&&\\&&&\\&&1&\\&&&\end{pmatrix} +a_{33}\begin{pmatrix}&&&\\&&&\\&&&\\&&&1\end{pmatrix}\\ &+\text{Re }a_{01}\begin{pmatrix}&1&&\\1&&&\\&&&\\&&&\end{pmatrix} +\text{Re }a_{02}\begin{pmatrix}&&1&\\&&&\\1&&&\\&&&\end{pmatrix}\\ &+\text{Re }a_{03}\begin{pmatrix}&&&1\\&&&\\&&&\\1&&&\end{pmatrix} +\text{Re }a_{12}\begin{pmatrix}&&&\\&&1&\\&1&&\\&&&\end{pmatrix}\\ &+\text{Re }a_{13}\begin{pmatrix}&&&\\&&&1\\&&&\\&1&&\end{pmatrix} +\text{Re }a_{23}\begin{pmatrix}&&&\\&&&\\&&&1\\&&1&\end{pmatrix} \end{aligned}
Re ρ = + a 0 0 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ + a 1 1 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ + a 2 2 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ + a 3 3 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ + Re a 0 1 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 1 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ + Re a 0 2 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 1 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ + Re a 0 3 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 1 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ + Re a 1 2 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 1 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ + Re a 1 3 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 1 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ + Re a 2 3 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 1 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ 上面10个矩阵有如下的特点,两两乘积均为0,自己与自己的乘积均为对角阵,且对角元为0或1. 我们不妨把这10个矩阵命名为:
A
0
,
A
1
,
A
2
,
A
3
,
2
B
1
,
2
B
2
,
2
B
3
,
2
B
4
,
2
B
5
,
2
B
6
.
A_0, A_1, A_2, A_3, 2B_1, 2B_2, 2B_3, 2B_4, 2B_5, 2B_6.
A 0 , A 1 , A 2 , A 3 , 2 B 1 , 2 B 2 , 2 B 3 , 2 B 4 , 2 B 5 , 2 B 6 . 因此我们得到了如下的密度矩阵的表达式:
Re
ρ
=
(
⟨
A
0
⟩
⟨
B
1
⟩
⟨
B
2
⟩
⟨
B
3
⟩
⟨
A
1
⟩
⟨
B
4
⟩
⟨
B
5
⟩
⟨
A
2
⟩
⟨
B
6
⟩
⟨
A
3
⟩
)
\text{Re }\rho=\begin{pmatrix}\langle A_0\rangle&\langle B_1\rangle&\langle B_2\rangle&\langle B_3\rangle\\ &\langle A_1\rangle&\langle B_4\rangle&\langle B_5\rangle\\ &&\langle A_2\rangle&\langle B_6\rangle\\ &&&\langle A_3\rangle\\ \end{pmatrix}
Re ρ = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ ⟨ A 0 ⟩ ⟨ B 1 ⟩ ⟨ A 1 ⟩ ⟨ B 2 ⟩ ⟨ B 4 ⟩ ⟨ A 2 ⟩ ⟨ B 3 ⟩ ⟨ B 5 ⟩ ⟨ B 6 ⟩ ⟨ A 3 ⟩ ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ 接下来,我们就要寻找这10个矩阵他们对应的实际意义是什么。
首先,很显然,我们很显然的能得到前四个矩阵的具体意义。
A
0
=
P
^
H
⊗
P
^
H
A
1
=
P
^
H
⊗
P
^
V
A
2
=
P
^
V
⊗
P
^
H
A
2
=
P
^
V
⊗
P
^
V
A_0=\hat{P}_H\otimes\hat{P}_H\\ A_1=\hat{P}_H\otimes\hat{P}_V\\ A_2=\hat{P}_V\otimes\hat{P}_H\\ A_2=\hat{P}_V\otimes\hat{P}_V\\
A 0 = P ^ H ⊗ P ^ H A 1 = P ^ H ⊗ P ^ V A 2 = P ^ V ⊗ P ^ H A 2 = P ^ V ⊗ P ^ V 这四项是指2个端口分别测量H和V所组成的4种可能。同时,根据我们刚刚得到的
P
^
D
−
P
^
A
=
(
0
1
1
0
)
\hat{P}_D-\hat{P}_A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
P ^ D − P ^ A = ( 0 1 1 0 ) 我们可以得到另外4个矩阵:
2
B
1
=
P
^
H
⊗
(
P
^
D
−
P
^
A
)
=
P
^
H
⊗
P
^
D
−
P
^
H
⊗
P
^
A
2
B
2
=
(
P
^
D
−
P
^
A
)
⊗
P
^
H
=
P
^
D
⊗
P
^
H
−
P
^
A
⊗
P
^
H
2
B
5
=
(
P
^
D
−
P
^
A
)
⊗
P
^
V
=
P
^
D
⊗
P
^
V
−
P
^
A
⊗
P
^
V
2
B
6
=
P
^
V
⊗
(
P
^
D
−
P
^
A
)
=
P
^
V
⊗
P
^
D
−
P
^
V
⊗
P
^
A
2B_1=\hat{P}_H\otimes(\hat{P}_D-\hat{P}_A)=\hat{P}_H\otimes\hat{P}_D-\hat{P}_H\otimes\hat{P}_A\\ 2B_2=(\hat{P}_D-\hat{P}_A)\otimes\hat{P}_H=\hat{P}_D\otimes\hat{P}_H-\hat{P}_A\otimes\hat{P}_H\\ 2B_5=(\hat{P}_D-\hat{P}_A)\otimes\hat{P}_V=\hat{P}_D\otimes\hat{P}_V-\hat{P}_A\otimes\hat{P}_V\\ 2B_6=\hat{P}_V\otimes(\hat{P}_D-\hat{P}_A)=\hat{P}_V\otimes\hat{P}_D-\hat{P}_V\otimes\hat{P}_A\\
2 B 1 = P ^ H ⊗ ( P ^ D − P ^ A ) = P ^ H ⊗ P ^ D − P ^ H ⊗ P ^ A 2 B 2 = ( P ^ D − P ^ A ) ⊗ P ^ H = P ^ D ⊗ P ^ H − P ^ A ⊗ P ^ H 2 B 5 = ( P ^ D − P ^ A ) ⊗ P ^ V = P ^ D ⊗ P ^ V − P ^ A ⊗ P ^ V 2 B 6 = P ^ V ⊗ ( P ^ D − P ^ A ) = P ^ V ⊗ P ^ D − P ^ V ⊗ P ^ A 至于另外2个矩阵,我们首先需要计算
(
P
^
D
−
P
^
A
)
⊗
2
(\hat{P}_D-\hat{P}_A)^{\otimes 2}
( P ^ D − P ^ A ) ⊗ 2 和
(
P
^
R
−
P
^
L
)
⊗
2
(\hat{P}_R-\hat{P}_L)^{\otimes 2}
( P ^ R − P ^ L ) ⊗ 2
(
P
^
D
−
P
^
A
)
⊗
2
=
(
1
1
1
1
)
(
P
^
R
−
P
^
L
)
⊗
2
=
(
−
1
1
1
−
1
)
(\hat{P}_D-\hat{P}_A)^{\otimes 2}=\begin{pmatrix}&&&1\\&&1&\\&1&&\\1&&&\end{pmatrix}\\ (\hat{P}_R-\hat{P}_L)^{\otimes 2}=\begin{pmatrix}&&&-1\\&&1&\\&1&&\\-1&&&\end{pmatrix}
( P ^ D − P ^ A ) ⊗ 2 = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 1 1 1 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ ( P ^ R − P ^ L ) ⊗ 2 = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ − 1 1 1 − 1 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ 因此,我们得到:
2
B
3
=
[
(
P
^
D
−
P
^
A
)
⊗
2
−
(
P
^
R
−
P
^
L
)
⊗
2
]
/
2
2
B
4
=
[
(
P
^
D
−
P
^
A
)
⊗
2
+
(
P
^
R
−
P
^
L
)
⊗
2
]
/
2
2B_3=[(\hat{P}_D-\hat{P}_A)^{\otimes 2}-(\hat{P}_R-\hat{P}_L)^{\otimes 2}]/2\\ 2B_4=[(\hat{P}_D-\hat{P}_A)^{\otimes 2} +(\hat{P}_R-\hat{P}_L)^{\otimes 2}]/2
2 B 3 = [ ( P ^ D − P ^ A ) ⊗ 2 − ( P ^ R − P ^ L ) ⊗ 2 ] / 2 2 B 4 = [ ( P ^ D − P ^ A ) ⊗ 2 + ( P ^ R − P ^ L ) ⊗ 2 ] / 2
接下来,让我们计算密度矩阵的复部。 我们需要如下的分解:
ρ
−
Re
ρ
=
Im
a
01
(
i
−
i
)
+
Im
a
02
(
i
−
i
)
+
Im
a
03
(
i
−
i
)
+
Im
a
12
(
i
−
i
)
+
Im
a
13
(
i
−
i
)
+
Im
a
23
(
i
−
i
)
\begin{aligned} \rho-\text{Re }\rho&= \text{Im }a_{01}\begin{pmatrix}&i&&\\-i&&&\\&&&\\&&&\end{pmatrix} +\text{Im }a_{02}\begin{pmatrix}&&i&\\&&&\\-i&&&\\&&&\end{pmatrix}\\ &+\text{Im }a_{03}\begin{pmatrix}&&&i\\&&&\\&&&\\-i&&&\end{pmatrix} +\text{Im }a_{12}\begin{pmatrix}&&&\\&&i&\\&-i&&\\&&&\end{pmatrix}\\ &+\text{Im }a_{13}\begin{pmatrix}&&&\\&&&i\\&&&\\&-i&&\end{pmatrix} +\text{Im }a_{23}\begin{pmatrix}&&&\\&&&\\&&&i\\&&-i&\end{pmatrix} \end{aligned}
ρ − Re ρ = Im a 0 1 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ − i i ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ + Im a 0 2 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ − i i ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ + Im a 0 3 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ − i i ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ + Im a 1 2 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ − i i ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ + Im a 1 3 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ − i i ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ + Im a 2 3 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ − i i ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ 我们把上面6个矩阵分别命名为:
2
C
1
,
2
C
2
,
2
C
3
,
2
C
4
,
2
C
5
,
2
C
6
2C_1, 2C_2, 2C_3, 2C_4, 2C_5, 2C_6
2 C 1 , 2 C 2 , 2 C 3 , 2 C 4 , 2 C 5 , 2 C 6 . 利用矩阵
P
^
L
−
P
^
R
=
(
0
i
−
i
0
)
\hat{P}_L-\hat{P}_R=\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}
P ^ L − P ^ R = ( 0 − i i 0 ) 组合可以得到:
2
C
1
=
P
^
H
⊗
(
P
^
L
−
P
^
R
)
2
C
2
=
(
P
^
L
−
P
^
R
)
⊗
P
^
H
2
C
3
=
[
(
P
^
L
−
P
^
R
)
⊗
(
P
^
D
−
P
^
A
)
+
(
P
^
D
−
P
^
A
)
⊗
(
P
^
L
−
P
^
R
)
]
/
2
2
C
4
=
[
(
P
^
L
−
P
^
R
)
⊗
(
P
^
D
−
P
^
A
)
−
(
P
^
D
−
P
^
A
)
⊗
(
P
^
L
−
P
^
R
)
]
/
2
2
C
5
=
(
P
^
L
−
P
^
R
)
⊗
P
^
V
2
C
6
=
P
^
V
⊗
(
P
^
L
−
P
^
R
)
\begin{aligned} &2C_1=\hat{P}_H\otimes(\hat{P}_L-\hat{P}_R)\\ &2C_2=(\hat{P}_L-\hat{P}_R)\otimes\hat{P}_H\\ &2C_3=[(\hat{P}_L-\hat{P}_R)\otimes(\hat{P}_D-\hat{P}_A)+(\hat{P}_D-\hat{P}_A)\otimes(\hat{P}_L-\hat{P}_R)]/2\\ &2C_4=[(\hat{P}_L-\hat{P}_R)\otimes(\hat{P}_D-\hat{P}_A)-(\hat{P}_D-\hat{P}_A)\otimes(\hat{P}_L-\hat{P}_R)]/2\\ &2C_5=(\hat{P}_L-\hat{P}_R)\otimes\hat{P}_V\\ &2C_6=\hat{P}_V\otimes(\hat{P}_L-\hat{P}_R)\\ \end{aligned}
2 C 1 = P ^ H ⊗ ( P ^ L − P ^ R ) 2 C 2 = ( P ^ L − P ^ R ) ⊗ P ^ H 2 C 3 = [ ( P ^ L − P ^ R ) ⊗ ( P ^ D − P ^ A ) + ( P ^ D − P ^ A ) ⊗ ( P ^ L − P ^ R ) ] / 2 2 C 4 = [ ( P ^ L − P ^ R ) ⊗ ( P ^ D − P ^ A ) − ( P ^ D − P ^ A ) ⊗ ( P ^ L − P ^ R ) ] / 2 2 C 5 = ( P ^ L − P ^ R ) ⊗ P ^ V 2 C 6 = P ^ V ⊗ ( P ^ L − P ^ R )
综上,我们得到了:
Re
ρ
=
(
⟨
A
0
⟩
⟨
B
1
⟩
⟨
B
2
⟩
⟨
B
3
⟩
⟨
A
1
⟩
⟨
B
4
⟩
⟨
B
5
⟩
⟨
A
2
⟩
⟨
B
6
⟩
⟨
A
3
⟩
)
2
B
1
=
H
⊗
(
D
−
A
)
2
B
2
=
(
D
−
A
)
⊗
H
2
B
3
=
[
(
D
−
A
)
⊗
2
−
(
L
−
R
)
⊗
2
]
/
2
2
B
4
=
[
(
D
−
A
)
⊗
2
+
(
L
−
R
)
⊗
2
]
/
2
2
B
5
=
(
D
−
A
)
⊗
V
2
B
6
=
V
⊗
(
D
−
A
)
Im
ρ
=
(
0
⟨
C
1
⟩
⟨
C
2
⟩
⟨
C
3
⟩
−
⟨
C
1
⟩
0
⟨
C
4
⟩
⟨
C
5
⟩
−
⟨
C
2
⟩
−
⟨
C
4
⟩
0
⟨
C
6
⟩
−
⟨
C
3
⟩
−
⟨
C
5
⟩
−
⟨
C
6
⟩
0
)
2
C
1
=
H
⊗
(
L
−
R
)
2
C
2
=
(
L
−
R
)
⊗
H
2
C
3
=
[
(
L
−
R
)
⊗
(
D
−
A
)
+
(
D
−
A
)
⊗
(
L
−
R
)
]
/
2
2
C
4
=
[
(
L
−
R
)
⊗
(
D
−
A
)
−
(
D
−
A
)
⊗
(
L
−
R
)
]
/
2
2
C
5
=
(
L
−
R
)
⊗
V
2
C
6
=
V
⊗
(
L
−
R
)
\begin{array}{c|c} \text{Re }\rho=\begin{pmatrix}\langle A_0\rangle&\langle B_1\rangle&\langle B_2\rangle&\langle B_3\rangle\\ &\langle A_1\rangle&\langle B_4\rangle&\langle B_5\rangle\\ &&\langle A_2\rangle&\langle B_6\rangle\\ &&&\langle A_3\rangle\\ \end{pmatrix} &\begin{aligned} &2B_1=H\otimes(D-A)\\ &2B_2=(D-A)\otimes H\\ &2B_3=[(D-A)^{\otimes 2}-(L-R)^{\otimes 2}]/2\\ &2B_4=[(D-A)^{\otimes 2}+(L-R)^{\otimes 2}]/2\\ &2B_5=(D-A)\otimes V\\ &2B_6=V\otimes(D-A)\\ \end{aligned}\\ \hline \text{Im }\rho=\begin{pmatrix}0&\langle C_1\rangle&\langle C_2\rangle&\langle C_3\rangle\\ -\langle C_1\rangle&0&\langle C_4\rangle&\langle C_5\rangle\\ -\langle C_2\rangle&-\langle C_4\rangle&0&\langle C_6\rangle\\ -\langle C_3\rangle&-\langle C_5\rangle&-\langle C_6\rangle&0\\ \end{pmatrix} &\begin{aligned} &2C_1=H\otimes(L-R)\\ &2C_2=(L-R)\otimes H\\ &2C_3=[(L-R)\otimes(D-A)+(D-A)\otimes(L-R)]/2\\ &2C_4=[(L-R)\otimes(D-A)-(D-A)\otimes(L-R)]/2\\ &2C_5=(L-R)\otimes V\\ &2C_6=V\otimes(L-R)\\ \end{aligned} \end{array}
Re ρ = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ ⟨ A 0 ⟩ ⟨ B 1 ⟩ ⟨ A 1 ⟩ ⟨ B 2 ⟩ ⟨ B 4 ⟩ ⟨ A 2 ⟩ ⟨ B 3 ⟩ ⟨ B 5 ⟩ ⟨ B 6 ⟩ ⟨ A 3 ⟩ ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ Im ρ = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 0 − ⟨ C 1 ⟩ − ⟨ C 2 ⟩ − ⟨ C 3 ⟩ ⟨ C 1 ⟩ 0 − ⟨ C 4 ⟩ − ⟨ C 5 ⟩ ⟨ C 2 ⟩ ⟨ C 4 ⟩ 0 − ⟨ C 6 ⟩ ⟨ C 3 ⟩ ⟨ C 5 ⟩ ⟨ C 6 ⟩ 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ 2 B 1 = H ⊗ ( D − A ) 2 B 2 = ( D − A ) ⊗ H 2 B 3 = [ ( D − A ) ⊗ 2 − ( L − R ) ⊗ 2 ] / 2 2 B 4 = [ ( D − A ) ⊗ 2 + ( L − R ) ⊗ 2 ] / 2 2 B 5 = ( D − A ) ⊗ V 2 B 6 = V ⊗ ( D − A ) 2 C 1 = H ⊗ ( L − R ) 2 C 2 = ( L − R ) ⊗ H 2 C 3 = [ ( L − R ) ⊗ ( D − A ) + ( D − A ) ⊗ ( L − R ) ] / 2 2 C 4 = [ ( L − R ) ⊗ ( D − A ) − ( D − A ) ⊗ ( L − R ) ] / 2 2 C 5 = ( L − R ) ⊗ V 2 C 6 = V ⊗ ( L − R )