【概述】
带花树算法用于解决一般图的最大匹配问题。
对于一个图 G(V,E)，他的匹配 M 是二元组 (u,v) 组成的集合，其中 u,v∈V,(u,b)∈E，且 M 中不存在重复的点，当 |M| 最大的时候，称 M 为图 G(V,E) 的最大匹配。
当图 G(V,E) 是一个二分图时，由于其若含有环，则一定是偶环（一个点数为 2k 的环），其最大匹配可以使用匈牙利算法或网络流算法来求解。
当图 G(V,E) 是一个一般图时，由于一般图会含有奇环（一个点数为 2k+1 的环），而经过一个奇环会得到两条含有同一个点的匹配边，因此当图 G(V,E) 是一个一般图时，无法直接进行增广，需要用改进算法来求解最大匹配，即带花树算法。
【带花树算法】
带花树算法仍是分 n 个阶段寻找增广路，由于问题出在奇环上，那么首先分析一下奇环的性质。
奇环中有 2k+1 个点，所以最多有 k 组匹配，也就是说有一个点没有匹配，即这个点在环内两边的连边都不是匹配边，也只有这个点可以向环外连边。
根据这个性质，可以将奇环缩成一个点（这个点称为花），由于增广路经过奇环，那么奇环内的增广路可以还原出来，因此缩完点后的图如果可以找到一条增广路，那么原图中也可以找到一条增广路。
根据上述思想，整个求解过程可以分成 n 个阶段，每个阶段从没有匹配的 S 点开始 BFS 寻找增广路。
搜索的开始，将 S 点加入队列中，标记为 A 类点，如果从 x 点出发，搜索到一个未标记点，那么有两种情况：
1）如果这个未标记点 x 有匹配：将这个点设为 B 类点，它的匹配点设为 A 类点，加入队列继续增广。
2）如果这个未标记点 x 没有匹配：由于是从一个未匹配点开始进行搜索的，所以这说明找到了一条增广路，沿着过来的边找回去，展开带花树，在搜索的过程中，如果遇到了环，又有两种情况：
①修改搜索的过程中，如果遇到偶环：那么由于其不影响求解，因此不用管它
②修改搜索的过程中，如果遇到奇环：那么找到当前点 x 和找到的点 y，求出他们最近公共花祖先，然后用并查集缩掉环。
在缩环的时候，维护一个 pre 数组，表示回跳的时走到这里该往哪一个方向走回去。回跳的时候，每次找到 pre，然后修改这条边，接着跳到 pre 原来的 match 处。
如果倒着进入一个花的时候，上方的边为非匹配边，那么我们会往下走，这个时候 pre 就应该往下设，中间相遇的位置 pre 互相连接，即：pre[x]=y,pre[y]=x
时间复杂度：由于算法分为 n 个阶段，每个阶段最多把整个图遍历一次，每个点会最多被缩 n 次花，所以总复杂度为 O(n3)
【模版】
const int N=500+5;
struct Edge {
int v,next;
} edge[N*N*2];
int n,m;
int head[N],tot;
int father[N],pre[N];//father记录一个点属于哪个一个点为根的花
int match[N],type[N];//type记录一个点为奇点/偶点，1为奇，2为偶
int vis[N],timeBlock;
int Q[N*N*2],first,tail;
void addEdge(int u,int v) {//添边
edge[++tot].v=v;
edge[tot].next=head[u];
head[u]=tot;
}
int Find(int x){//并查集寻找根节点
if(father[x]!=x)
return father[x]=Find(father[x]);
return father[x];
}
int LCA(int x,int y) {//求解最近公共祖先
timeBlock++;
while(vis[x]!=timeBlock) {
if(x) {
x=Find(x);
if(vis[x]==timeBlock)
return x;
vis[x]=timeBlock;
if(match[x]!=0)
x=Find(pre[match[x]]);
else x=0;
}
swap(x,y);
}
return x;
}
void shrink(int x,int y,int k) {//将奇环缩成一个点并将原来是奇点的点变为偶点并加入队列
while(Find(x)!=k) {
pre[x]=y;
int z=match[x];
if(type[z]==1) {
type[z]=0;
Q[++tail]=z;
}
if(Find(z)==z)
father[z]=k;
if(Find(x)==x)
father[x]=k;
y=z;
x=pre[y];
}
}
bool bfs(int s) {
for(int i=1; i<=n; i++)
father[i]=i;
memset(type,0,sizeof(type));
memset(pre,0,sizeof(pre));
first=tail=1;
Q[first]=s;
type[s]=1;
int t=0;
while (first<=tail) {
int x=Q[first++];
int y=edge[head[x]].v;
for(int i=head[x]; i; i=edge[i].next) {
if(Find(y)==Find(x) || type[y]==2)
continue;
if(!type[y]) {
type[y]=2;
pre[y]=x;
if(!match[y]) {
int last;
for(int now=y; now; now=last) {
int temp=pre[now];
last=match[temp];
match[now]=temp;
match[temp]=now;
}
return true;
}
type[match[y]]=1;
Q[++tail]=match[y];
}
else if (type[y]==1) {
int k=LCA(x,y);
shrink(x,y,k);
shrink(y,x,k);
}
y=edge[i].v;
}
}
return false;
}
int main() {
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1; i<=m; i++) {
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
addEdge(x,y);
addEdge(y,x);
}
int res=0;
for(int i=1; i<=n; i++)
res+=(!match[i] && bfs(i));
printf("%d\n",res);
for(int i=1; i<=n; i++)
printf("%d ",match[i]);
printf("\n");
return 0;
}【例题】
- 一般图最大匹配（UOJ-79）(模版题)：点击这里