这几个概念理解起来有点困难，然而他们是整个概率论的基础。理解了他们的四个的区别，对于理解高阶概率论很有帮助。
本文是在学习Vamei 概率论01 计数 基础上得到的。

• 概率论的基础

  • 大数定律（伯努利）证明随机事件的频率可以近似于它的概率。以此，使概率称为一门可以确定研究的学问。这是概率论的确定性基石。
  • 等概率假设：在一个事件中，每种结果出现的可能是等概率的。
  • 分步：将复杂过程解析为多个步骤，在每一个步骤内部等概率。

• 重复与有序

  • 重复：在等概率假设这一层世界起作用，如果是重复抽样，每次可能结果的数量相同，每个可能结果的概率也就相同；如果是非重复抽样，每次的可能结果数量不同，导致概率不同。
  • 有序：在分步这一层世界起作用，如果N次抽样是有序的，那就是分为N步，如果N次抽样是无序的，可以视N次抽样为一次，只是一次抽取结果中有N个元素。单纯将N次抽取结果由有序变为无序就是将可能性去除这N个结果的 $N!$种可能。

• 重复与有序在不同位面的婚姻

  • 有序有重复的从N个总数中抽取M个样本

    1. 有序。将M个样本分为M步。
    2. 有重复。M步中每一步的可能等概率的为N。

  • 有序无重复

    1. 有序。将M个样本分为M步。
    2. 无重复。M步中每一步的可能等概率不相同，每走一步，可能减少一个种类

  • 无序无重复

    1. 无序。将M个样本作为一步来看。相当于对M步那个世界的一种高级封装，将M个样本内部的顺序作为一个低级维度封装成一种可能，就是说，对N个总体种类世界里的可能性降低 $M!$倍。（我也不知道这么说能否让人看明白，暂时想不到更简介的表述）。无序无重复被称为分组就在这里。

    2. 无重复。因为无序，所以看作只有一次操作，就相当于将总体的N分成2组，带走了其中数量为 $M$的一组。同样因为无序，剩下一组（数量为 $N-M$）也看作低纬度的封装，需要去除组内部的 $(N-M)!$种可能。所以，可能性有：
       $\frac{N!}{(N-M)!(M)!}$

  • 无序有重复

    1. 无序，等同于上面。还是看作分组。

    2. 有重复。虽然还是分组，但不同于直观意义上的分组。因为**“有重复”**的存在，本质上是扩充了总量N。有重复的选取M本质是向原来的N中新加入了 $M-1$个元素。此时的总数是 $N+M-1$分成的两组的内部数量分别是：原来的 $N$，以及新加入的 $M-1$。此时，套用公式（1）结果就是：
       $\frac{(N+M-1)!}{N!(M-1)!}$

• Python实现