斜率优化真他妈好玩

原题： https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1010

题意：

1…N的N件玩具长度为Ci。分成若干段。每段的长度将为 $x=j-i+\sum_{k=i}^jCk$
长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。求费用的最小值。

解析

递推式： $dp[i]=dp[j]+(i-j-1+sum_i-sum_j-L)^2$

对于两点 $j,k(j<k)$，使k的值更优得： $dp[j]+(i-j-1+sum_i-sum_j-L)^2>dp[k]+(i-k-1+sum_i-sum_k-L)^2$ $dp[j]+(j+sum_j)^2-2(i+sum_i-L-1)(j+sum_j)>dp[k]+(k+sum_k)^2-2(i+sum_i-L-1)(k+sum_k)$ $dp[j]-dp[k]+(j+sum_j)^2-(k+sum_k)^2>2(i+sum_i-L-1)(j+sum_j-(k+sum_k))$ $\dfrac{dp[j]-dp[k]+(j+sum_j)^2-(k+sum_k)^2}{j+sum_j-(k+sum_k)}<2(i+sum_i-L-1)$

验证正确性并得出单调性：

首先因为是小于号，所以队列中值为大于 $2(i+sum_i-L-1)$的数。

而右侧值随着i变大而变大，在变大后，可能队首的值不符合要求要弹出（小于 $2(i+sum_i-L-1)$）

结论：

化解过程正确，单调性为：增；队列中的值大于 $2(i+sum_i-L-1)$。

细节：

由于第二个点也可以从0转移，所以需要压入0这个状态。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int maxn=50009;

LL n,L;
LL a[maxn];
LL dp[maxn];
LL sum[maxn];
int Q[maxn],l=1,r=1;

double check(int j,int k){
    return double(dp[j]-dp[k]+(j+sum[j])*(j+sum[j])-(k+sum[k])*(k+sum[k]))/(double)((j+sum[j])-(k+sum[k]));
}

int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&L);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",a+i);
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    }
    dp[0]=0;
    Q[1]=0;

    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(r>l&&check(Q[l],Q[l+1])<2*(i-L+sum[i]-1))l++;
        int j=Q[l];
        dp[i]=dp[j]+(i-j-1+sum[i]-sum[j]-L)*(i-j-1+sum[i]-sum[j]-L);
        //printf("%d -> %d dp[%d]=%lld\n",j,i,i,dp[i]);
        while(r>l&&check(Q[r-1],Q[r])>check(Q[r],i))r--;
        Q[++r]=i;
    }
    printf("%lld\n",dp[n]);
}