竞赛与自招公众号：今天上午，进行了清华大学的自主招生笔试。考试时间是90分钟，采用的是机考的形式，总共35个不定项选择题。在考试结束后，我们根据考生的回忆，将此次的部分试题整理出来，并推送给大家。后期若有增加，会陆续推送。由于考生的回忆可能会有一些错误，还请大家帮忙指正，谢谢。

1.一个四面体棱长分别为$6,6,6,6,6,9$,求外接球的半径.

2.求值: $\int_{-1}^1\left(1-\sin^2x\right)x^2dx$.

3.已知$P$为单位圆上一动点, $A(0,2),B(0,-1)$,求$|AP|\cdot |BP|^2$的最大值.

4. $AB$为圆$O$直径, $CO\perp AB$, $M$为$AC$中点, $CH\perp MB$,则下列选项正确的是

A. $AM=2OH$  B. $AH=2OH$  C. $\triangle BOH\sim \triangle BMA$ D.忘了

5. $A=\{1,2,3,\cdots,15\},B=\{1,2,3,4,5\}$, $f$是$A$到$B$的映射,若满足$f(x)=f(y)$,则称有序数对$(x,y)$为“好对”,求“好对”的个数最小值.

6.若对任意$c\in\mathbb{R}$,存在$a,b$,使得$\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=f'(c)$成立,则称函数$f(x)$满足性质$T$,下列函数不满足性质$T$的是

A. $f(x)=x^3-3x^2+3x$  B. $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$  C. $f(x)=e^{x+1}$  D. $f(x)=\sin (2x+1)$

7.已知$|\vec{a}|=|\vec{b}|=1, \vec{a} \cdot \vec{b}=\frac{1}{2},(\vec{c}-\vec{a}) \cdot(\vec{c}-\vec{b})=0$,若$|\vec{d}-\vec{c}|=1$,求$|\vec{d}|$的最大值.

8.椭圆$\frac{x^2}6+\frac{y^2}2=1$,过$F(2,0)$的直线交椭圆于$A,B$两点,点$C$在直线$x=3$上,若$\triangle ABC$为正三角形,求$\triangle ABC$的面积.

9.圆$x^2+y^2=4$上一点$(x_0,y_0)$处的切线交抛物线$y^2=8x$于$A,B$两点,且满足$\angle AOB=90^\circ$,其中$O$为坐标原点,求$x_0$.

10. $a=4444^{4444}$, $b$是$a$的各位数字之和, $c$为$b$的各位数字之和,求$c$的值.

11.实数$x,y$满足$x^2+(y-2)^2\leq 1$,求$\frac{x+\sqrt{3} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$的最大值和最小值.

\[\sum_{k=1}^{n} k^{2} 2^{k}=\left(n^{2}-2 n+3\right) 2^{n+1}-6.\]

设$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{6} \in\left[\frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{3}\right]$,求证: $\sum_{i=1}^{6} \frac{a_{i}-a_{i+1}}{a_{i+1}+a_{i+2}} \geq 0$.