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题目:CH5402/luogu2014.
题目大意:给定一棵
个点有根树的森林,要求在森林中选
个点,使得点权之和最大.若一个点要选,则它的父亲也要选.
.
首先建立一个虚点作为所有树树根的父亲变成一棵有根树,问题变成求一个最大包含虚点的 个点组成的连通块使得点权和最大.
设
表示以第
个点为根的子树中,包含根的
个点组成的连通块的最大点权.容易发现一个方程:
直接计算这个式子十分困难,于是我们考虑每次父亲的DP数组只与它的一个儿子结合.也就是说对于一个点
,我们枚举它的所有儿子,每次枚举到一个儿子
时:
不过,与背包类似的,这个时候应该倒序枚举 .
那么这个算法的复杂度为 ,足已通过本题.
但是我们还可以优化,考虑一下这个算法有没有计算什么多余的地方?
容易发现我们只需要根的答案,但是我们把所有节点的答案都算出来了.
我们考虑改变状态的意义,设 表示dfs扫到点 后强制选点 ,包含根的 个点的连通块最大点权和.
很容易想到,这个时候当我们枚举到 的一个儿子 的时候,由于 的DP数组一定是强制选了 的,所以我们只需要把 的数组强制多选一个 下放到 上,然后返回的时候用 的DP数组更新 的DP数组即可.
其实还是有点抽象,具体看代码吧…
容易发现这样子复杂度会降为 .
代码如下:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Abigail inline void
typedef long long LL;
const int N=300,INF=(1<<30)-1;
int n,m,v[N+9];
struct side{
int y,next;
}e[N*2+9];
int lin[N+9],cs;
void Ins(int x,int y){e[++cs].y=y;e[cs].next=lin[x];lin[x]=cs;}
int dp[N+9][N+9];
void Dfs_dp(int k,int fa){
for (int i=lin[k];i;i=e[i].next)
if (e[i].y^fa){
for (int j=0;j<=m;++j) dp[e[i].y][j]=-INF;
for (int j=0;j<m;++j) dp[e[i].y][j+1]=dp[k][j]+v[e[i].y];
Dfs_dp(e[i].y,k);
for (int j=0;j<=m;++j) dp[k][j]=max(dp[k][j],dp[e[i].y][j]);
}
}
Abigail into(){
scanf("%d%d",&n,&m);++n;++m;
int x;
for (int i=2;i<=n;++i){
scanf("%d%d",&x,&v[i]);++x;
Ins(i,x);Ins(x,i);
}
}
Abigail work(){
for (int i=0;i<=m;++i) dp[1][i]=-INF;
dp[1][1]=v[1];
Dfs_dp(1,0);
}
Abigail outo(){
printf("%d\n",dp[1][m]);
}
int main(){
into();
work();
outo();
return 0;
}