前言
为什么要引入极坐标呢?
比较研究
- 平面直角坐标系下的各种曲线的方程
- 极坐标系下的各种曲线的方程
典例剖析
(1).当\(\theta_0=\cfrac{\pi}{3}\)时,求\(\rho_0\)及\(l\)的极坐标方程;
(2).当\(M\)在\(C\)上运动且\(P\)在线段\(OM\)上时,求\(P\)点轨迹的极坐标方程。
分析:
(1)写出曲线\(C_1\)的普通方程和\(C_2\)的直角坐标方程;
分析:(1) 直接给出答案,
曲线的普通方程\(C_1:(x-2)^2+y^2=4\);
所求的直角坐标方程\(C_2:(x-1)^2+y^2=1\);
(2)设点\(P\) 在\(C_1\)上,点\(Q\) 在\(C_2\)上,且\(\angle POQ=\cfrac{\pi}{2}\),求三角形\(POQ\)面积的最大值。
分析:【法1】极坐标法(本题目命题意图就是想让学生体会极坐标的优越性,从而主动使用极坐标刻画思考或者在极坐标系下运算),
曲线\(C_1\)的极坐标方程为\(\rho_1=4cos\alpha(\alpha\in(-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}))\),
曲线\(C_2\)的极坐标方程为\(\rho_2=2cos\theta(\theta\in(-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}))\),
如图所示,初步分析,当点\(P\)在\(x\)轴上方时,点\(Q\)必在\(x\)轴下方;
当然还会有另一种情形,当点\(P\)在\(x\)轴下方时,点\(Q\)必在\(x\)轴上方;
我们取其中一种做研究,比如点\(P\)在\(x\)轴上方,点\(Q\)在\(x\)轴下方;
注意此时点\(Q\)的极角是负值\(-\theta\),
由于\(\rho_1>0\),\(\rho_2>0\),以及\(\angle POQ=\cfrac{\pi}{2}\)可得,
\(\alpha-\theta=\cfrac{\pi}{2}\),即\(\alpha=\theta+\cfrac{\pi}{2}\),(顺时针为正,逆时针为负)
则有\(S_{\Delta OPQ}=\cfrac{1}{2}|OP||OQ|\)
\(=\cfrac{1}{2}\rho_1\rho_2=\cfrac{1}{2}\times 4cos\alpha\times 2cos\theta\)
\(=4cos(\theta+\cfrac{\pi}{2})cos\theta=-4sin\theta cos\theta\)
\(=-2sin2\theta\),
当\(2\theta=-\cfrac{\pi}{2}\),即\(\theta=-\cfrac{\pi}{4}\)时,
\((S_{\Delta OPQ})_{max}=2\)。
【法2】参数方程法,
如图所示,曲线\(C_1\)的参数方程是\(\begin{cases}x=2+2cos\alpha\\y=2sin\alpha\end{cases}(\alpha为参数,\alpha\in (-\pi,\pi))\),
曲线\(C_2\)的参数方程是\(\begin{cases}x=1+cos\theta\\y=sin\theta\end{cases}(\theta为参数,\theta\in (-\pi,\pi))\),
注意参数的含义,\(\cfrac{\alpha}{2}-\cfrac{\theta}{2}=\cfrac{\pi}{2}\),即\(\alpha=\pi+\theta\)
则有\(S_{\Delta OPQ}=\cfrac{1}{2}|OP||OQ|\)
\(=\cfrac{1}{2}\sqrt{(2+2cos\alpha)^2+(2sin\alpha)^2}\sqrt{(1+cos\theta)^2+sin^2\theta}\)
\(=\cfrac{1}{2}\sqrt{8(1+cos\alpha)}\sqrt{2(1+cos\theta)}\)
\(=\cfrac{1}{2}\sqrt{8(1-cos\theta)}\sqrt{2(1+cos\theta)}\)
\(=\cfrac{1}{2}\times 4\sqrt{(1-cos\theta)(1+cos\theta)}\)
\(=2\sqrt{1-cos^2\theta}=2|sin\theta|\)
当\(\theta=-\cfrac{\pi}{2}\)时,\((S_{\Delta OPQ})_{max}=2\)。
【变形方法3】参数方程法,曲线\(C_1\)的参数方程是\(\begin{cases}x=2+2cos\alpha\\y=2sin\alpha\end{cases}(\alpha为参数,\alpha\in (-\pi,\pi))\),
曲线\(C_2\)的参数方程是\(\begin{cases}x=1+cos\theta\\y=2sin\theta\end{cases}(\theta为参数,\theta\in (-\pi,\pi))\),
注意参数的含义,\(\cfrac{\alpha}{2}-\cfrac{\theta}{2}=\cfrac{\pi}{2}\),即\(\alpha=\pi+\theta\)
由\(\angle POQ=\cfrac{\pi}{2}\)可知,\(k_{OP}k_{OQ}=-1\),
即\(\cfrac{2sin\alpha}{2+2cos\alpha}\times \cfrac{sin\theta}{1+cos\theta}=-1\),即\(-sin\alpha sin\theta=(1+cos\alpha)(1+cos\theta)\)
\(S_{\Delta OPQ}=\cfrac{1}{2}|OP||OQ|\)
\(=\cfrac{1}{2}\sqrt{(2+2cos\alpha)^2+(2sin\alpha)^2}\sqrt{(1+cos\theta)^2+sin^2\theta}\)
\(=\cfrac{1}{2}\sqrt{8(1+cos\alpha)}\sqrt{2(1+cos\theta)}\)
\(=2\sqrt{(1+cos\alpha)(1+cos\theta)}\)
\(=2\sqrt{-sin\alpha sin\theta}\),
又有\(\cfrac{\alpha}{2}-\cfrac{\theta}{2}=\cfrac{\pi}{2}\),即\(\alpha=\pi+\theta\)
\(原式=2\sqrt{sin^2\theta}=2|sin\theta|\),
当\(\theta=-\cfrac{\pi}{2}\)时,\((S_{\Delta OPQ})_{max}=2\)。
【法4】尝试使用均值不等式,待有空思考整理。
设直线\(OP\)的方程为\(y=kx\),由\(\angle POQ=\cfrac{\pi}{2}\)可得,
直线\(OQ\)的方程为\(y=-\cfrac{1}{k}x\),
联立\(\begin{cases}(x-2)^2+y^2=4\\y=kx\end{cases}\),
解得\(P(\cfrac{4}{1+k^2},\cfrac{4k}{1+k^2} )\),
联立\(\begin{cases}(x-1)^2+y^2=1\\y=-\cfrac{1}{k}x\end{cases}\),
解得$ Q(\cfrac{2k^2}{1+k^2},\cfrac{-2k}{1+k^2} )$,
\(S_{\Delta POQ}=\cfrac{1}{2}|OP||OQ|=\cfrac{1}{2}\sqrt{(\cfrac{4}{1+k^2})^2+(\cfrac{4k}{1+k^2})^2}\sqrt{(\cfrac{2k^2}{1+k^2})^2+(\cfrac{-2k}{1+k^2})^2}\)
\(=\cfrac{1}{2}\sqrt{\cfrac{16}{1+k^2}}\sqrt{\cfrac{4k^2}{1+k^2}}=\cfrac{4|k|}{1+k^2}=\cfrac{4}{|k|+\frac{1}{|k|}}\leq 2\)。
当且仅当\(|k|=1\)时取到等号。故\((S_{\Delta POQ})_{max}=2\)。
反思:这个解法的优越性体现在只有一个变量\(k\),那么求最值时就好操作些。
【法5】是否有,待后思考整理。
解后反思:
1、在高中数学中,求某个量(比如面积)的最值时,往往需要先表达出这个量(比如面积)的函数,这样求实际问题的最值就变成了求这个函数模型的最值问题了,这一过程实际就是函数的建模。
1、法1利用极坐标法,这样表达刻画面积时,就只有两个变量\(\alpha\)和\(\theta\),然后利用两个变量的相互关系,再将变量集中为一个变量,就好求解其最大值了。
2、法2利用参数方程法,在表达刻画面积时,同样只有两个变量\(\alpha\)和\(\theta\),然后利用两个变量的相互关系,再将变量集中为一个变量,就好求解其最大值了。法2和法3本质接近。
3、正确求解本题目,需要深刻理解极坐标方程的含义和参数方程的含义,尤其是法2对参数的含义更不能弄错了。用到了内外角关系和圆心角和圆周角关系。
4、还有学生想到设\(P(x_1,y_1)\),$ Q(x_2,y_2)$,这样的思路我没有做尝试,不过能看出来此时是四个变量,这样就难得多了,所以碰到这样的题目我们先需要初步筛选思路。