磁盘与CPU访问成本分析
CPU：1台500-MIPS（500MHz）的机器，即可能每秒执行50010001000=5亿条指令。
磁盘：7200RPM的磁盘，即每分钟7200转；因此1转=60/7200=1/120秒，或即8.3毫秒。
磁盘访问时间分为三部分：
- 寻道时间，也称寻找时间：磁头移动到指定磁道需要的时间
- 延迟时间：磁头定位到某一磁道的扇区所需要的时间
- 传输时间：从磁盘读出或者写入经历的时间
平均可以认为磁盘转到一半的时候发现我们要寻找的信息，但是移动磁盘磁头读取磁道上数据耗时通常简化计算，即读取一个磁道上数据的耗时就是转动一圈的时间，即我们得到访问时间为8.3毫秒。
一次磁盘访问的价值约是80W（万）条指令。
这里每一个数据都是粗略的计算，不过相对速度还是清楚的：磁盘访问的代价太高了。
因此，为了节省一次磁盘访问，我们愿意进行大量的计算。几乎在所有的情况下，控制运行时间的都是磁盘访问的次数。于是把磁盘访问次数减少一半，那么运行时间也将减半。
二叉树与B树
二叉树基础知识
- 深度：根节点至各个节点的层数。根节点深度为0
- 高度：叶子节点至各个节点的层数。叶子节点高度为0
- 深度与二叉树层数关系
- 二叉树节点数：2^0 + 2^1 + 2^3 + … + 2^m
- 等比数列求和公式：
。a1是第一个元素值，q为公约数即等比的比值，例如二叉树为2，n为前n项 - 二叉树节点数量代入公式计算得：n=2^(m+1)-1；由于m>=0，顾此处是m+1。
- 深度m等于log以2为底（n+1）的对数-1，即log2(n+1)-1。
- 平均查找长度：ASL=∑PiCi (i=1,2,3,…,n),可以简单以数学上的期望来这么理解。其中：Pi 为查找表中第i个数据元素的概率，Ci为找到第i个数据元素时已经比较过的次数。
- 假定每个元素的概率相同也就是1/n。
- 查找每个节点比较的次数也就是节点的深度d+1。
- 平均查找长度= 每个结点的深度的总和 / 总结点数。每个结点的深度的总和=对深度的等差数列（0至log2(n+1)-1）求和；总结点数=2^(m+1)-1，其中m=log2(n+1)-1。
- ∴ P（n）=
P(n,i)/n <= 2(1+I/n)lnn - 因为 2(1+I/n)lnn≈1.38logn。故P(n)=O(logn)，与时间复杂度相等
- 时间复杂度：log以2为底N的对数。伪代码中可以看到，第一次二分剩余元素数量n/2；第二次剩余n/2/2；第m次剩余n/2^m； 假设最后一次查找到元素，即n/2^m=1（命中目标时只剩下一个元素）。所以时间复杂度计算单元计算次数m=log2(N)。
//伪代码
lookup(Node node, int aim) {
if (node == null) {
return null;
}
if (node.getData == aim) {
return node.getData;
}
if (node.getData < aim) {
lookup(node.getLeft, aim);
} else {
lookup(node.getRight, aim);
}
}
- 时间复杂度数学证明
- 定理：如果x是一棵有n个节点子树（二叉树）的根，那么调用INORDER-TREE-WALK(x)遍历树需要花费log2(N)时间
- 证明：当INORDER-TREE-WALK作用于一棵有n个节点子树的根时，用T(n)表示需要的时间。由于INORDER-TREE-WALK要访问全部n个节点，T(n)=Ω(n)。下面仍需要证明T(n) = O(n).
- 由于对于一棵空树，INORDER-TREE-WALK需要耗费一个小的常数时间（因为测试node不为null），因此对于某个常数c>0，有T(0)=c。
- 对n>0，假设调用INORDER-TREE-WALK作用在一个节点x上，x节点左子树有k个节点且右子树有n-k-1个节点，则执行INORDER-TREE-WALK(x)的时间有T(n)≤T(k)+T(n-k-1)+d限界，其中常数d>0。
- 使用替换法，通过证明T(n)≤(c+d)n+c，可以得证T(n)=O(n)。对于n=0，有(c+d)*0+c=c=T(0)。对于n>0，有：
INORDER-TREE-WALK(node)
if node != null
INORDER-TREE-WALK(node.left)
print node.data
INORDER-TREE-WALK(node.right)
在磁盘上，典型的查找树执行如下：假设有1000W项数据，每一个关键字是32字节（代表一个名字），而一个记录是256字节。假设这些数据不能都装入主存，而我们是正在使用系统的20个用户之一（因此有1/20的资源）。这样，在1秒内，我们可以执行2500万次指令，或者执行6次磁盘访问。
不平衡的二叉查找树是一个灾难。在最坏情形下它具有线程深度，从而可能需要1千万（10000000）次磁盘访问。平均来看，一次二叉树存储结构成功的查找可能需要1.38logN(以2为底N的对数)次磁盘访问，由于log10000000≈24，因此平均一次查找需要32次磁盘访问，或5秒（32次8.3毫秒20个用户）的时间。在一棵典型的随机构造的树中，我们预料会有一些节点的深度要深3倍；他们需要大约100次磁盘访问，或16秒（100次8.3毫秒20个用户）的时间。AVL树（自平衡二叉树）多少要好一些。1.44logN的最坏情形不可能发生，典型的情形是非常接近与logN（接近完全平衡）。这样，一棵AVL树平均将使用大约25次磁盘访问，需要的时间是4秒（25次8.3毫秒20个用户）。
我们想要把磁盘访问次数减小到一个非常小的常数，比如3或4；由于AVL树接近到最优的高度，所以二叉查找树是不可行的。使用二叉查找树我们不能行进到低于logN。
解法直觉上看是简单的：如果有更多的分支，那么就有更少的深度。于是便有了B树以及B+Tree等树结构
阶为M的B树是一棵具有下列特性的树：
- 数据项存储在树叶上。
- 非叶节点存储直到M-1个关键字以指示搜索的方向；关键字i代表子树i+1中最小的关键字
- 树的根或者是一片树叶，或者其儿子数在2和M之间。
- 除根外，所有非树叶节点的儿子数在[M/2]和M之间。
- 所有的树叶都在相同的深度上并有[L/2]和L之间个数据项。
