题目

\(n\)个点\(m\)条边的无向图，一条路径的代价定义为路径上前\(k\)大边的边权和

对于$k = n \to 1 $，求１－ｎ的最短路

\(n,m \le 3000 \ , \ w_i \le 10^9\)

题解

• 60pts
• 枚举最小的边\(e\)将边分为 $ \ge e $ 和 $ <e $ ，后者边权设为0，设\(dp_{i,j}\)表示走到\(i\)，\(\ge e\)的边走了\(j\)条的概率
• 用\(dp_{n,k}\)去更新答案，需要预先做一边最短路考虑边数不够的情况
• 时间复杂度：\(O(m^2n\ log \ m)\)
• 100pts
• 枚举最小的\(e\)，将每条边的边权设置为\(max\{0,w - w_e\}\) ，做Dij，用\(dis_{n} + k \times w_e\)更新答案
• 时间复杂度：\(O(mn \log m)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 1e18

using namespace std;

const int N=3010;
int T,n,m,o,hd[N],vis[N],del[N<<1],id[N<<1];
ll dis[N],ans[N];

struct Edge{int u,v,w,nt;}E[N<<1];
void adde(int u,int v,int w){
    E[o]=(Edge){u,v,w,hd[u]};hd[u]=o++;
    E[o]=(Edge){v,u,w,hd[v]};hd[v]=o++;
}

bool cmp(int x,int y){return E[x].w==E[y].w?x<y:E[x].w<E[y].w;}

struct data{
    int u;ll w;
    data(int _u=0):u(_u){w=dis[u];};
    bool operator <(const data&A)const{return w>A.w;};
};
priority_queue<data>q;

void dijkstra(int e){
    for(int i=1;i<=n;++i)dis[i]=inf;
    ++T;dis[1]=0;q.push(1);
    while(!q.empty()){
        int u=q.top().u;q.pop();
        if(vis[u]==T)continue;
        vis[u]=T;
        for(int i=hd[u];i;i=E[i].nt){
            int v=E[i].v;
            if(del[i]){
                if(dis[v]>dis[u]){
                    dis[v]=dis[u];
                    if(vis[v]!=T)q.push(v);
                }
            }else{
                if(dis[v]>dis[u]+E[i].w-e){
                    dis[v]=dis[u]+E[i].w-e;
                    if(vis[v]!=T)q.push(v);
                }
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)ans[i]=min(ans[i],dis[n]+1ll*e*i);
}

int main(){
    freopen("journey.in","r",stdin);
    freopen("journey.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);o=1;
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int u,v,w;
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        adde(u,v,w);
    }
    for(int i=1;i<o;++i)id[i]=i;
    sort(id+1,id+o,cmp);
    for(int i=1;i<=n;++i)ans[i]=inf;
    dijkstra(0);
    for(int i=1;i<o;++i){
        int now=id[i];
        if(del[now])continue;
        del[now]=del[now+1]=1;
        dijkstra(E[now].w);
    }
    for(int i=n;i;--i)printf("%lld\n",ans[i]);
    return 0;
}