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第二章 线性代数
2.4 线性相关
书里面给的现行相关的例子不是很明了,百科给出的现行相关定义
设α₁,α₂,…,αₑ(e≥1)是域P上线性空间V中的有限个向量.若V中向量α可以表示为:α=k₁α₁+k₂α₂+…+kₑαₑ(kₑ∈P,e=1,2,…,s),则称α是向量组α₁,α₂,…,αₑ的一个线性组合,亦称α可由向量组α₁,α₂,…,αₑ线性表示或线性表出.
给出的实例如下:
定义矢量为[2 4 1 5],[3 5 1 2],[5 6 2 1],[9 0 1 3]·权重为0.1,0.4,0.25,0.25。求其线性组合s。
s的第一个元素为 0.12+0.43+0.255+0.259依次类推
可以看出,对比方程 Ax=b 四个矢量就是矩阵A中的四个列向量,而权重组合成一个向量则是x。如此就可以理解,b向量的第i个维度是对A中每一个列向量的第i个维度用x作为权重加权计算得到,(x权重总和可能不是1)
2.5 范数
范数是一个将向量映射到非负值的函数,其通用定义如下
当p等于2且i等于2时,是常见的平面上向量长度,但是注意p是属于实数的值,因此其数值未必额i的最大值相同,对于三维向量,依旧可以对其取 L2范数
常用范数:
- 平方范数,即p=2的情况下,这种范数的计算方便,但是由于其导数和每个元素相关,在零点附近变化不理想
- 一级范数,p=1情况,简化为
- 最大范数,代表向量中具有最大振幅值的元素
- 矩阵大小的frobenius范数
2.7 特征分解
- 特征向量:指与A相乘后相当于对该向量进行缩放的非零向量:
- 特征值:,对应的常数λ
- 特征分解:A的n个线性无关的特征向量和其特征值矩阵向量化,