机器人学基础（第2版）

2.1位置和姿态的表示

位置描述： 一旦建立了坐标系，就可以用一个3×1的位置矢量对世界坐标系中的任何点进行定位。因为在世界坐标系中还有其他坐标系，因此必须在位置矢量上附加信息，表明是在哪个坐标被定义的。位置矢量用一个前置的上标来表明其参考坐标系。例如： $^AP$。表明 $^AP$的数值是在坐标系｛A｝中的表示。矢量中的各个元素用下标x，y，z来表示：

$^AP=\begin{bmatrix} p_{x} \\ p_{y} \\ p_{z} \end{bmatrix} \tag{2.1} ​$
姿态描述：物体的姿态(orientation)。物体的姿态可由某个固接于此物体的坐标系描述。为了规定空间某刚体B的姿态，设置直角坐标系{B}与此刚体固接。用坐标系{B}的三个单位主矢量 $x_B，y_B，z_B$相对于参考坐标系{A}的方向余弦组成的3X3矩阵。

$^A_{B}R=\begin{bmatrix} ^A{x_{B}} & ^A{y_{B}} & ^A{z_{B}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{23} & r_{33} \end{bmatrix} \tag {2.2}$ $^A_{B}R$称为旋转矩阵， $^A_{B}R$记作(矩阵｛B｝相对于矩阵｛A｝的表达)，且满足条件 $^A_{B}R^{-1} = {^A_{B}R^T}$； $\left| ^A_{B}R\right| =1$

于是，点的位置可用一个矢量来表示，物体的姿态可用一个矩阵来表示，上式中 $r_{ij}$可用每个矢量在其参考坐标系中的单位方向上投影的分量来表示。于是 ${^A_B}R$ 的各个分量可用一对单位矢量的点积来表示：

$^A_{B}R = \begin{bmatrix} ^A{x_{B}} & ^A{y_{B}} & ^A{z_{B}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} X_B⋅X_A & Y_B⋅X_A & Z_B⋅X_A \\ X_B⋅Y_A & Y_B⋅Y_A & Z_B⋅Y_A \\ X_B⋅Z_A & Y_B⋅Z_A & Z_B⋅Z_A\end{bmatrix} \tag {2.3}$

对应于轴x，y，z作转角为 $\theta$的旋转变换，其旋转矩阵分别为：
$R\left( x,\theta \right) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c\theta & -s\theta \\ 0 & s\theta & c\theta \end{bmatrix} \tag {2.4}$
$R\left( y,\theta \right) = \begin{bmatrix} c\theta & 0 & s\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -s\theta & 0 & c\theta \end{bmatrix} \tag {2.5}$
$R\left( z,\theta \right) = \begin{bmatrix} c\theta & -s\theta & 0 \\ s\theta & c\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \tag {2.6}$
s表示sin，c表示cos

现在以三个欧拉角中的Rot(X)为例（其余两个欧拉角以此类推），验证一下以上说的结论。
由于 $^A_{B}R$ 的的三个列向量 $^AX_B$， $^AY_B$ 和 $^AZ_B$都是单位矢量，且两两相互垂直，因而满足6个约束条件：
  （1） ${^AX_B} ⋅ {^AX_B} = {^AY_B} ⋅ {^AY_B} = {^AZ_B} ⋅ {^AZ_B} = 1$
  （2） ${^AX_B} ⋅ {^AY_B} = {^AY_B} ⋅ {^AZ_B} = {^AZ_B} ⋅ {^AX_B} = 0$
由于绕x轴旋转，所以我们观察 $Y_B$ 和 $Z_B$ 分别在 $Y_A$ 和 $Z_A$ 上的投影情况，如下图所示。

$R\left( x,\theta \right) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c\theta & -s\theta \\ 0 & s\theta & c\theta \end{bmatrix} \tag {2.7}$

位姿描述：我们采用位置矢量描述点的位置，而用旋转矩阵描述物体的姿态。相对于参考系{A}，坐标系{B}的原点位置和坐标轴的姿态，分别由位置矢量 $^AP_{B_o}$和旋转矩阵 ${^A_B}R$ 描述。这样，刚体B的位姿可由坐标系{B}描述，即有
${B}=\left\{{^A_B}R , \ ^AP_{B_o}\right\} { }\tag {2.8}$ 当表示位置时，式(2.8)中的旋转矩阵 ${^A_B}R=I$ (单位矩阵)；当表示姿态时，式(2.8)中位置矢量 $^AP_{B_o} = o$

参考文章：https://blog.csdn.net/qq_21834027/article/details/85041809