本文章记录一些较难的题，全部摘自自己的blog中的其他文章。

2019.7.15-2019.7.21

1182F（2900）

题意：求在区间 \([a,b]\) 中找一个最小的 x 使得 \(\text{abs}(\text{sin}(\frac{p}{q} \pi x))\) 最大。 \(0 \le a \le b \le 10^{9}, 1 \le p,q \le 10^9\)

key：姿势

实际上是求一个最小的 x 使得 \(f(x)=2px \bmod 2q\) 最靠近 q。

性质：\(f(x)+f(y)\equiv f(x+y) \bmod 2q\) 。所以对于区间内每个数 x ，都可以把它拆分为 \(x=a+i*t+j\) 。其中 \(t=\sqrt{b-a+1}, j=(x-a) \bmod t, i \in [0,t]\)

所以只需要把所有 \(f(a+j)\) 记下来排个序，之后枚举 i 二分查找即可。剩余的区间（ \(i=t\) 时 j 可能取不到所有\([0,t)\) ）需要暴力。

有两个坑点：1. 有序表中同样 f 的取小的。 2. 因为模运算的序列是环形的，所以如果二分查找的结果是首/尾，需要特判。

1194E（2200）

题意：有 n 个线段，每个都是平行 x 或者 y 轴，只有互相垂直的两线段才会相交。问形成了多少个矩形。 \(n \le 5000, -5000 \le x_i,y_i \le 5000\)

key：树状数组

考虑枚举矩形上边和下边，如果统计出与这两条边相交的竖线个数，那么就能知道贡献。先枚举下边，把所有与它相交的竖线插入树状数组。如果把竖线按照上端点的纵坐标排序，那么按照从下往上枚举上边时就可以删掉某些竖边。总复杂度 \(O(n^2 \log n)\)

1194F（2500）

题意：有 n 个题，第 i 个题花费时间是 \(a_i\) 或 \(a_i+1\)，概率都是 0.5，你只能顺着做。问 T 时间做题的期望个数。 \(a_i \le 10^9, T \le 10^{14}, n \le 2*10^5\)

key：概率

key：姿势

总方案数是 \(2^n\)， 考虑第 i 个题被做的方案数。令 \(sum_i=\sum_{j\le i}a_i\) ，那么剩余可随意支配的时间是 \(T-sum_i\)，这些时间会被分配到前 i 个题上，每个至多分配 1，或者留给后面的题。后面的题不用管，就是 \(2^{n-i}\) 种方案。所以这个题的贡献是
\[ \frac{2^{n-i}*\sum_{j=0}^{T-sum_i} {i \choose j}}{2^n} \]
分子是一个组合数第 i 行的前缀和，这个可以直接递推（\(\sum_{i\le m} {n+1 \choose i} = 2\sum_{i\le m} {n \choose i} - {n \choose m}\)）。由于随着 i 增大， \(T-sum_i\) 变小，所以可以直接做。

gym101630 A（银牌题）

题意：有 n 个时刻，第 i 个时刻要么会在 (xi,yi) 生成一个半径为 yi 的圆，要么射击 (xi,yi) 这个点，如果该点在某个圆内则把对应圆删除并输出该圆的标号，否则输出 -1 。任意时刻圆之间不会相交（可以相切）。 \(n \le 2*10^5, -10^9 \le x_i,y_i \le 10^9, y_i > 0\)

key：线段树，结论

结论：与一条竖线相交的圆的个数不超过 \(O(\log \max y_i)\) 个。

证明：可以证明下图中，两圆的半径比是 4。也就是说最差时半径以4倍增长。

所以每次只需要找到覆盖该竖线的所有圆，然后一个个check即可。可以用线段树维护。

当一个圆插入时，它覆盖的区间最大为 \((x_i-y_i,x_i+y_i)\) 。以查找直线左边的圆为例，只要在 \(x_i\) 处把 \(x_i+y_i\) 插入，之后询问时递归直线左半边，如果区间最大值比 \(x_i\) 小则直接 return。递归到叶子时计算是否可行。

因为至多递归到 log 个叶子，所以总复杂度是 \(O(n\log n \log \max y_i)\)

仔细观察可以发现实际上只有 i+k*m 这个集合中的点有边，并且形成了一个环，而环的大小就是集合中 1 的个数。

gym101630 I（金牌题）

题意：一个随机排列，偶数按顺序放到 e 数组中，奇数按顺序放到 o 数组中。每次可以询问 \(e_i\) 和 \(o_j\) 的大小关系。求在 \(3*10^5\) 的询问数下输出 e 和 o 。 \(n \le 10000\)

key：排序，交互

key：二分图

考虑快排：每次把区间分为两段。

枚举 o 中的每个数，此时考虑有若干段区间，该数一定存在在某个区间中间（或者是 1 或 n，这个要特判）。由于区间之间存在有序性，所以可以先对所有区间二分，此时该数只会落在两个区间内，然后再从两个区间里暴力判断。由于是随机排列，所以可以证明总询问数是 \(O(n \log n)\)