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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
noip 基础数学
赵和旭
清华大学
2019 年 7 月 17 日
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
前言
▶ 我今天主要介绍的一点数学知识。
▶ 希望大家可以在学习的过程中培养一下数学思想，而不是背
过各种定理和公式。
▶ 在数学这一块内容，背是最不科学的方法。（别的不一定）
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
一些数学符号
▶ ∑i 求和符号。
▶ ∏i 求积符号。
▶ n! = 1 ∗ 2 ∗ 3:::::: ∗ n
▶ log2(n) 就是求 2 的多少次方为 n.
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
整数除法的取整
▶ ⌊⌋ 向下取整
▶ ⌈⌉ 向上取整
▶ 在 c++ 中，正整数的整除都是向下取整 ⌊ ba ⌋
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
取模
▶ a 对 b 取模得到的结果就是 a 除以 b 的余数
▶ 记作 a mod b，例如 10 mod 3 = 1
▶ x ≡ y(%p) 表示 x 与 y 对 p 取模的结果相等，称为同余
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
取模性质
关于取模的几个基本性质：
▶ x + a ≡ y + a(%p)
▶ x - a ≡ y - a(%p)
▶ x ∗ a ≡ y ∗ a(%p) (以上假设 x ≡ y(%p))
▶ (a + b)%p = (a%p + b%p)%p
▶ (a - b)%p = (a%p - b%p)%p
▶ (a - b)%p = (a - b + p)%p
▶ a ∗ b%p = (a%p) ∗ (b%p)%p
有了以上性质，我们就可以边计算边取模
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
取模
在 c++ 中，注意
1：一个正整数对一个正整数取模得到的是一个非负整数。
2：一个负数对一个正整数取模得到的是负数或者是 0。
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
带余除法
对于两个正整数 a， b，存在两个唯一的整数满足 q， r 满足
b = a ∗ q + r(0 ≤ r < a)
其中 b 对 a 取模得到的是 r，而 b 整除 a 为 q。
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
整除
整数 a， b，且 a 不等于 0。
如果存在整数 k 满足， b = a × k。
那么 a 整除 b，我们符号记做 a j b。
b 成为 a 的倍数， a 成为 b 的因数。
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
最大公约数
如果 a%x = 0，我们称 x 是 a 的约数 (或因数)，也称 a 是 x 的
倍数
a 与 b 的最大公约数，是指一个最大的整数 x，使得 x 同时是 a
和 b 的约数
我们将 a 与 b 的最大公约数记作 gcd(a,b)
例如： gcd(18,24)=6
那如何求解最大公约数呢？
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
最大公约数
欧几里得算法又称辗转相除法
算法公式：
gcd(a; b) = {gcd a (b; a%b) b ; b̸= 0 = 0
有了这个公式，我们就可以轻松求解最大公约数了，时间复杂度
为 log 级别
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
最大公约数
首先为什么是 log 次，时间复杂度证明？
正确性？
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
最大公约数
我们考虑 a 对 b 取模, 只要 a 大于 b，那么 a 至少会减少一半，
并且可能会减少更多。
也就是说每递归两次一个数会减少至少一半，每次除以 2，所以
就是 log 级别的了。
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
最大公约数
关于 gcd 还有以下扩展： gcd(a,b,c)=gcd(gcd(a,b),c)
将 a 与 b 的最小公倍数记作 lcm(a,b) 则 lcm(a; b) = gcda(∗ab;b)
与 gcd 同理， lcm(a,b,c)=lcm(lcm(a,b),c)
但是 lcm(a; b; c) = gcd a∗(ab;∗bc;c) 不成立！！！
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
一个证明
将 a 与 b 的最小公倍数记作 lcm(a,b) 则 lcm(a; b) = gcda(∗ab;b) 设
g=gcd(a,b),g 是最大的能满足存在一组 x 和 y,x*g=a,y*g=b, 我们发现
x*y*g 既可以整除 a 也可以整除 b，首先这个最小公倍数是必须有
x 和 y 两因子的，那就考虑是否存在一个更小的 k，
x*y*k 也能整除 a 和 b，答案肯定是不行的，因为想整除 x*g，至少要有一个
g 因子，以此我们就证明完毕了。
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
军训队
给出一个（n+1） *（m+1) 的网格我站在（0,0）这个位置，每一个学生有一个战斗力是他到
(0,0) 这个连线上有多少个学生。求总战斗力。

n,m<=1000
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
军训队
你要搞出来这个性质。（
x， y）到（0,0）能经过 gcd(x,y)+1 个点。然后直接两个 for 循环就出来了。

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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
10 进制转 k 进制
首先我们来看看一个十进制数的本质是什么，我们以 2333 为例，其实它就是
2 ∗ 103 + 3 ∗ 102 + 3 ∗ 101 + 3 ∗ 100，而对于这同一个数，我们还可以把它表示成

1 ∗ 211 + 1 ∗ 28 + 1 ∗ 24 + 1 ∗ 23 + 1 ∗ 22 + 1 ∗ 20 也就对应着它的二进制表示
100100011101。而对于任意一个 n 在 k 进制下，则为
n = ∑i=0 Ci ∗ ki 其中 Ci 是小于 k 的。而对于一个 k 这个 C
数组是唯一的。其实不同进制
k，本质上还是同一个数，只是不同的表示形式而已。

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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
10 进制转 k 进制
那实际上我们就是求出每一个 Ci 即可。我们发现
C0 = 2333%kC
1 = ⌊2333/k⌋%kC
2 = ⌊2333/k/k⌋%k
......... 依次我们就求出来每一位了。
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
k 进制转 10 进制
这就是说我们知道上面的 C0; C1; C2:::: 也就是我们知道每一位，然后我们要求原数。然后我们直接根据

n = ∑i=0 Ci ∗ ki 就可求得 n 了。
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
我们来对着代码讲。
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
计数三个原理: 加法原理
具体是指：做一件事情，完成它有 n 类方式，第一类方式有 M1
种方法，第二类方式有 M2 种方法， .......，第 n 类方式有 Mn 种方法，那么完成这件事情共有
M1+M2+.......+Mn 种方法。比如说：从武汉到上海有乘火车、飞机、轮船
3 种交通方式可供选择，而火车、飞机、轮船分别有
k1， k2， k3 个班次，那么从武汉到上海共有
k1+k2+k3 种方式可以到达。
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
计数三个原理: 乘法原理
做一件事，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有
m2 种不同的方法， ......，做第 n 步有 mn 种不同的方法。那么完成这件事共有
N=m1×m2×m3×......×mn 种不同的方法。比如说，从北京到济南
3 种方式，从济南到青岛 2
种方式，则从北京到青岛 6 种方式。
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
计数三个原理: 容斥原理
在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。




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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
排列
阶乘： n! = 1 ∗ 2 ∗ :::::: ∗ n（规定 0!=1）排列：有
n 个不同的物品，从中选出 m 个排成一列，问形成的排列的方案数。对于第一个位置，我们有
n 种选择；第二个位置，有
(n-1) 种选择..... 第 m 个位置，有 (n-m+1) 种选择。
Answer=n*(n-1)*......*(n-m+1)
我们将其记作： Am n = (n-nm! )!
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
组合
组合：有 n 个不同的物品，从中选出 m 个物品，不考虑顺序性，问方案数。我们考虑
n 个物品选出 m 个的排列，由于在组合中不考虑顺序性，所以每一种组合在排列中重复出现了
m! 次，所以只需要将排列数除以
m!。我们将其记作：
Cm n = (mn) = (n-mn! )!∗m!
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
三道题目
1、用 1 2 3 4 5 这五个数字，组成没有重复数字的三位数，且为偶数，共有多少个？

2、 2 名老师和 4 名学生排成一排，老师不站在两端，方案数有多少种？

3、 5 名同学排成一排，甲与乙必须相邻的方案数有多少？
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
三道题目
1、 2 ∗ A2 4
2、 A4 4 ∗ C2 3 ∗ A2 2
3、 A4 4 ∗ A2 2
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
组合数公式
(mn) = (mn --11) + (n m- 1)(
mn) = (n -n m)
n∑i
=0
(ni) = 2n
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
求组合数
(mn) = (n -n m)
利用这条性质，我们可以在 O(n2) 的时间的递推出所有
0 <= i <= n; 0 <= j <= i 的 Cj i
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
四个经典模型
1：求 n 个互不相同的小球，放在 m 个互不相同的桶中的方案数，桶可以为空。

2：求 n 个相同的小球，放在 m 个互不相同的桶中的方案数，桶不可以为空。

3：求 n 个相同的小球，放在 m 个互不相同的桶中的方案数，桶可以为空。

4：求网格中 (0,0) 走到 (n,m) 的方案数，没有任何障碍。
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
四个经典模型
1： mn
2： (mn--11)
3： (n+mm--1 1)
4： (n+nm)
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
越狱
监狱有连续编号为 1...n 的 n 个房间，每个房间关押一个犯人，有
m 种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱，答案对

100003 取模 n， m 在 long long 范围内例如：当
n=3,m=2 时，答案为 6
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
越狱
计数题有一种技巧叫做取补集, 直接求可能发生越狱的方案数并不好求可能发生越狱的方案数

= 所有的方案数-不能发生越狱的方案数所有的方案数
=mn 不能发生越狱的方案数 =m ∗ (m - 1)n-1
Answer = mn - m ∗ (m - 1)n-1，快速幂即可
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前言 同余基础 进制转换 高精度 排列组合与计数问题
其他组合数公式
n∑i
=0
(-1)i ∗ (ni) = 0(
x + y)n =
n∑i
=0
(ni) ∗ xi ∗ yn-i
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