最小有向生成树(最小树形图)指的是这样一个问题:
- 给出一张有向带权图\(G\)和其中一个节点\(rt\),找出一个以\(rt\)为根节点,权值最小的有向生成树,其中有向生成树满足如下条件:
-
- \(rt\)的入度恰好为\(0\)
- 其它节点的入度均为\(1\)
- 可以从根节点到达其它所有节点
求解最小树形图一般使用的是朱刘算法,流程大致如下:
(1)给所有非根节点选一条边权最小的入边,将这些边权加入答案中
(2)如果所有选择的边没有形成环,那么结束,当前累计的答案和就是最终结果
(3)否则把所有的环缩成一个点,该点会继承内部所有点的入边和出边。但是要注意,接下来的过程中如果要选取一条继承过来的边,那么这条边的边权应减去之前的原来的最短入边的边权。大概意思就是假设你现在要选择一条新的边来代替原来的某一条边,但是由于之前这条被替换的边已经被记入答案了,于是要减去这部分已经被记入答案的大小
模板题:luogu4716
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<string>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<math.h>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double db;
const int N=10000;
const db pi=acos(-1.0);
#define lowbit(x) (x)&(-x)
#define sqr(x) (x)*(x)
#define rep(i,a,b) for (register int i=a;i<=b;i++)
#define per(i,a,b) for (register int i=a;i>=b;i--)
#define fir first
#define sec second
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define pb(a) push_back(a)
#define maxd 998244353
#define eps 1e-8
struct node{int u,v,w;}sq[10010];
int n,m,rt,cnt=0,fa[110],mind[110],id[110],vis[110];
ll ans=0;
int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while ((ch<'0') || (ch>'9')) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while ((ch>='0') && (ch<='9')) {x=x*10+(ch-'0');ch=getchar();}
return x*f;
}
ll work()
{
while (1)
{
rep(i,1,n)
{
id[i]=0;vis[i]=0;mind[i]=maxd;
}
rep(i,1,m)
if ((sq[i].u!=sq[i].v) && (mind[sq[i].v]>sq[i].w))
{
fa[sq[i].v]=sq[i].u;mind[sq[i].v]=sq[i].w;
}
mind[rt]=0;cnt=0;
rep(i,1,n)
{
if (mind[i]==maxd) return -1;
ans+=mind[i];int u=i;
while ((u!=rt) && (vis[u]!=i) && (!id[u]))
{
vis[u]=i;u=fa[u];
}
if ((u!=rt) && (!id[u]))
{
id[u]=(++cnt);int v=fa[u];
while (v!=u) {id[v]=cnt;v=fa[v];}
}
}
if (!cnt) return ans;
rep(i,1,n) if (!id[i]) id[i]=(++cnt);
rep(i,1,m)
{
int mn=mind[sq[i].v];
sq[i].u=id[sq[i].u];sq[i].v=id[sq[i].v];
if (sq[i].u!=sq[i].v) sq[i].w-=mn;
}
n=cnt;rt=id[rt];
}
}
int main()
{
n=read();m=read();rt=read();
rep(i,1,m)
{
sq[i].u=read();sq[i].v=read();sq[i].w=read();
}
printf("%lld",work());
return 0;
}