@(曲率知识总结)
Introduction
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弧微分
设函数f(x)在区间(a,b)内具有连续导数,图形如图2.1中\(\widehat{AB}\)所示.
现在存在一段弧s, \(s(x) = \widehat{AM}\).则曲线s从M到M'点关于x的变化率为 \(\frac{ds}{dx}\):
\(\frac{ds}{dx}=\frac{\widehat{MM'}}{\Delta x}=\frac{\widehat{MM'}}{|MM'|} * \frac{|MM'|}{\Delta x}= \frac{\widehat{MM'}}{|MM'|} * \frac{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}}{\Delta x}\)
因为\(\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\widehat{MM'}}{|MM'|} = 1\)
所以\(\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\widehat{MM'}}{|MM'|} * \frac{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}}{\Delta x} = \frac{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}}{\Delta x}=\sqrt{1+(\frac{\Delta y}{\Delta x})^2}\)
总结得:\(\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+(\frac{\Delta y}{\Delta x})^2}=\sqrt{1+(y')^2}\)
最终得:\(ds=\sqrt{1+(\frac{\Delta y}{\Delta x})^2}dx = \sqrt{(dx)^2+(dy)^2}= \sqrt{1+(y')^2}dx\)
使用参数方程表示时:
\(\left\{\begin{matrix}\\x = X(t)\\y = Y(t)\\\end{matrix}\right.\)
\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X(t) = X'(t) = x' = \frac{dx}{dt}\)
\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Y(t) = Y'(t) = y' = \frac{dy}{dt}\)
最终得:\(ds=\sqrt{(X')^2+(Y')^2}dt\)
弧长公式
由弧微分公式可以推导出弧长的计算公式:
1. 当使用一般形式 \(y = f(x), s\)表示方程走过的路径时，\(s\)是关于x的积分：
\(\int_{a}^{u}ds = \int_{a}^{u}\sqrt{1+(y')^2}dx\)
\(s(u) = \int_{a}^{u}\sqrt{1+(y')^2}dx\)
2. 使用参数方程时，\(s\)是关于t的积分：
\(s(u) = \int_{a}^{u}\sqrt{(X')^2+(Y')^2}dt\)
==还有使用向量函数的表现形式，这里先不表。==
曲率与曲率半径
曲率
如图3.1所示，在一段弧线上,从点M开始,取距离为\(\Delta s\), 切线转角为\(\Delta \alpha\)的位移到达\(M'\),则定义弧段\(\Delta s\)上的平均曲率\(\overline{K} = |\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}|\),定义在点M处的曲率为 \(K=\lim_{\Delta s \to 0}|\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}| = |\frac{d\alpha }{ds}|\)。
曲率公式推导：
设曲线弧 \(y =f(x)\)二阶可导，曲线在一点处的切线角为 \(\alpha\),可知在一点处的斜率可表示为 \(y' = \frac{dy}{dx} = tan (\alpha)\),从而可得
\(\alpha = arctan(y')\)。
\(\frac{d\alpha }{dx} = (arctan(y'))'y'' = \frac{y''}{1 + (y')^2}\)
因为\(ds=\sqrt{1+(y')^2}dx\)
所以\(d\alpha = \frac{y''}{(1 + (y')^2)^{\frac{3}{2}}}ds\),\(K = |\frac{d\alpha }{ds}| = | \frac{y''}{(1 + (y')^2)^{\frac{3}{2}}}|\)。
使用参数方程表示时:
\(\left\{\begin{matrix}\\x = X(t)\\y = Y(t)\\\end{matrix}\right.\)
\(K = |\frac{d\alpha }{ds}| = | \frac{X'Y''-X''Y'}{((X')^2 + (Y')^2)^{\frac{3}{2}}}|\)
过程参照：https://blog.csdn.net/buaazyp/article/details/82622972
曲率半径
曲率的倒数就是曲率半径。
如上图所示， \(\Delta s = R\Delta \alpha\)
所以 \(K = \lim_{\Delta s \to 0}|\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}| = \frac{1}{R}\)。
最终得 \(R = \frac {1}{K}\)。
由这一性质得，曲率越大，其对应的圆越小，曲率半径越小，相反的，曲率越小，其对应的圆越大，曲率半径越大。
References
- https://wenku.baidu.com/view/92af806c26d3240c844769eae009581b6bd9bdb5.html
- https://baike.baidu.com/item/%E6%9B%B2%E7%8E%87%E5%8D%8A%E5%BE%84/2036643
- https://blog.csdn.net/buaazyp/article/details/82622972