2818: Gcd
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题目描述
给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的
数对(x,y)有多少对.

输入
一个整数N

输出
如题

样例输入
4

样例输出
4
提示

对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)

1<=N<=10^7

来源
湖北省队互测

题解
一道数论的小题。
首先，为了方便思考，我们先设 x<=y。
由于 gcd(x,y) = p（p为素数），假如 a*p=x，b*p=y 那么 gcd(a,b) = 1。
也就是求 $\sum_{y=1}^nφ(y/p_i)$ 其中 $p_i ≤ y$ 且为质数。

如果用来枚举，那么真是太慢了。由于 y 的取值为 $[1,n]$，所以 $y/p_i$ 的取值为 $[1,⌊ n/p_i⌋ ]$。
也就是对于每个 $p_i$ 累计 $\sum_{k=1}^{⌊y/p_i⌋}φ(k)$，所以我们可以对存 $φ(i)$ 的数组求前缀和。（$φ(i)$必然要用线性筛来求）

又因为 x和y 的位置可以互换，所以对于每个 $p_i$ 的 $\sum_{k=1}^{⌊y/p_i⌋}φ(k)$ 要 × 2 然后扣掉 $x=y$ 的情况数。
此时对于每个 $p_i$ 求的 $\sum_{k=1}^{⌊y/p_i⌋}φ(k)$ 等价为 gcd(x,y) = p[i] 的情况数。
所以 gcd(x,y) = p[i] 当且仅当 x = y = p[i] 的时候，所以只需扣去 1 就可以了。

这道题在解法上给人带来一点启发：此类题目，求某种关系的数对时，我们可以尝试着把它们转化为互质关系，然后利用欧拉函数来求。

代码

#include<cstdio>
const int maxn=1e7+5;
int n,p[maxn];
bool vis[maxn];
long long ans,phi[maxn];
void xianxingshai()
{
    vis[1]=1;phi[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!vis[i]) {p[++p[0]]=i;phi[i]=i-1;}
        for (int j=1;j<=p[0]&&(long long)p[j]*i<=n;j++)
        {
            vis[i*p[j]]=1;
            if (i%p[j]) phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
            else {phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];break;}
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    xianxingshai();
    ans=0;
    for (int i=1;i<=n;i++) phi[i]+=phi[i-1];
    for (int i=1;i<=p[0];i++) ans+=(phi[n/p[i]]<<1)-1;
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}