已知函数\(f(x)=x^3+ax^2+bx\)有两个极值点\(x_1,x_2\),且\(x_1<x_2\),若\(x_1+2x_0=3x_2\),则函数\(g(x)=f(x)-f(x_0)\)的零点个数情况为\((\qquad)\)
\(\mathrm{A}.\)恰有\(1\)个零点
\(\mathrm{B}.\)恰有\(2\)个零点
\(\mathrm{C}.\)恰有\(3\)个零点
\(\mathrm{D}.\)零点个数不确定
解析: 引理\(:\) 三次函数的对称性 \(\mathrm{II} \qquad\) 设\[f(x)=ax^3+bx^2+cx+d ,a\ne 0.\]的极大值为\(M\)，方程\(f\left( x \right) = M\)的两根为\[x_1,x_2, (x_1<x_2)，\]则区间\(\left[ x_1,x_2 \right]\) 被 \(-\dfrac{b}{3a}\)和极小值点三等分．
记三次函数的极小值点为 \(x_3\)，则 \[x_1+x_3=-\dfrac{2b}{3a}.\]
另一方面 \(f(x)=M=f(x_1)\)得 \[a(x^3-x_1^3)+b(x^2-x_1^2)+c(x-x_1)=0,\]整理得 \[(x-x_1)\left[ax^2+(ax_1+b)x+(ax_1^2+bx_1+c)\right]=0,\]由韦达定理有 \[x_1+x_2=-\dfrac{ax_1+b}{a},\]所以有 \(2x_1+x_2=-\dfrac ba\)，于是引理得证.
回到原题我们可知 \[x_0=\dfrac{3}{2}x_2-\dfrac{1}{2}x_1=x_2+\dfrac{1}{2}\left(x_2-x_1\right).\]结合三次函数的对称性 \(\mathrm{II}\)可知 \[f(x_1)=f(x_0),x_1\neq x_0,\]所以 \(g(x)=f(x)-f(x_0)\)的有且仅有两个零点.