题目来源于传说中的华为面试题：

有两个长度都为n的数组，分别为a，b。数组元素类型为整型，值任意且无序。要求通过交换a，b数组的元素，使得数组a的和与数组b的和的差最小。

  这个题目网上很多博客给出的一种解法都是错的，他们的思路是每次交换一对数据，如果交换能使得差变小就交换，否则就不交换。这个解法简单直观，其实本来目的就是穷举。可是本题却存在这种情况，即找不到任何一对数据的交换使得差变小（这也是上面算法的停止条件），但存在同时交换多对数据使得差变小的情况。
  网上的这个主流解法错就错在没有考虑同时交换多对数据的情况，下面我将介绍本题的一种使用动态规划的解法。

使用动态规划求解

  把原问题看作：有2n个非负整数（题目给的条件是值任意，后面我会介绍转换方法），和为 $S_{2n}$，我们要在2n个数中选出n个数，使得这n个数的和 $S_{n}$满足： $min(\frac{S_{2n}}{2}-S_{n})$

描述为背包问题就是：

从2n件物品中选出n件物品，放入容量为 $\frac{S_{2n}}{2}$的背包中，使得背包装的东西尽可能的多。（把第i个元素的值，既看作第i件物品的开销也看作第i件物品的价值）

  这其实是一个在普通的0-1背包上多加了一个限制条件的背包问题，多加了放入背包物品的数量的限制。
  我们可以在原来的基础上增加一维以满足新的限制。

状态转移方程：

  设f[i][j][v]表示前i件中选出j(j<=i)件放入容量为v的背包中所能获得的最大价值，a[i]为第i个元素的值。
$f[i][j][v]=max\{f[i-1][j][v],f[i-1][j-1][v-a[i]]+a[i]\}$
  空间优化后为：
$f[j][v]=max\{f[j][v],f[j-1][v-a[i]]+a[i]\}$

数据预处理（填坑）

本题满足平移不变性，即所有元素加上或减去一个整数，两数组和的差不变。

  我们可以利用这个性质，将所有元素都减去2n个元素中的最小值。

• 好处一：如果2n个元素中存在负数，则最小值必然是负数，减去这个负数，可以使得所有元素非负，进而可以使用背包求解。
• 好处二：如果2n个元素本来就是正数，则全部都减一个最小值，可以减小背包容量，从而降低求解的空间复杂度。

参考代码：

#include<stdio.h>
#define LEN 8
int select(int *a)
{
	int i, j, v;
	int imax = LEN;
	int jmax = imax / 2;
	int suma = 0;
    //求和
	for (i = 0; i < LEN; i++)
	{
		suma += a[i];
	}
	int vmax = suma / 2;
	int dp[jmax + 1][vmax + 1], sel[jmax + 1][vmax + 1];
    //初始化
	for (j = 0; j <= jmax; j++)
	{
		for (v = 0; v <= vmax; v++)
		{
			if (j == 0)
			{
				dp[j][v] = 0;
			}
			else
			{
				dp[j][v] = -1;
			}
			sel[j][v] = 0;
		}
	}
    //i从1开始而不是从0，是为了避免j-1<0越数组下界的情况
	for (i = 1; i <= imax; i++)
	{
        //因为dp数组减少了一维，又因为物品不能重复放入，所以要从后向前遍历更新
		for (j = i > jmax ? jmax : i; j >= 1; j--)
		{
			for (v = a[i - 1]; v <= vmax; v++)
			{
				if (dp[j - 1][v - a[i - 1]] < 0)
				{
					continue;
				}
				else if (dp[j - 1][v - a[i - 1]] + a[i - 1] > dp[j][v])
				{
					dp[j][v] = dp[j - 1][v - a[i - 1]] + a[i - 1];
                    //记录此时放入背包中的物品
					sel[j][v] = sel[j - 1][v - a[i - 1]] | (1 << (i - 1));
				}
			}
		}
	}
	printf("分配后两数组和的差为：%d", suma - 2*dp[jmax][vmax]);
	return sel[jmax][vmax];
}

void outputGroup(int *a, int sel) 
{
	printf("\n数组a的元素分别为：");
	for (int i = 0; i < LEN; i++)
	{
		if (sel & (1 << i))
		{
			printf("%d ", a[i]);
		}
	}
	putchar('\n');
}

int main()
{
    //测试数据
	int arry[LEN] = { 54, -58, 22, 49, 64, -21, 33, 90 };
	int a[LEN];
	for (int i = 0; i < LEN; i++)
	{
		a[i] = arry[i];
	}
    //下面对所有数据进行预处理，减去最小值
	int min = a[0];
	for (int i = 1; i < LEN; i++)
	{
		if (a[i] < min)
		{
			min = a[i];
		}
	}
	for (int i = 0; i < LEN; i++)
	{
		a[i] -= min;
	}
    //输出选出的a数组，剩下元素属于b数组
	outputGroup(arry, select(a));
	return 0;
}

代码运行结果为：

其实有了状态转移方程后，编程就简单了。上面代码是两三年前的代码了，现在的代码风格已经变了，哈哈

引申问题

现在有一个天平和n个质量已知的物品，假设要求一定要向天平托盘中放入物品，请问如何放置物品可以使得天平倾斜角最小？