狄利克雷卷积和莫比乌斯反演学习笔记

我太菜了，口嗨的题也嗨不了，赶紧学一发。

记一波笔记，免得忘力。

什么是狄利克雷卷积？

卷积是函数与函数之间的运算。

两个数论函数的狄利克雷卷积是一个新函数。

两个数论函数的狄利克雷卷积一般写成 $f*g$，读作 $f$ 卷 $g$。

狄利克雷卷积的定义式如下：（不懂建议手动模拟^^）
\[ f*g(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d}) \]
狄利克雷卷积满足交换律，结合律，分配律，柿子懒得打了，自己理解。

积性函数

设 $f$ 是数论函数，若对任意互质的正整数 $a,b$，都有 $f(ab)=f(a)f(b)$，则称 $f$ 是积性函数。

若对任意的正整数 $a,b$，都有 $f(ab)=f(a)f(b)$，则称 $f$ 是完全积性函数。

我寻思着这玩意不是应该高中whk考试里边都有吗。。。

得先介绍几个函数，作为前置芝士。

完全积性函数

单位函数：$\epsilon(x) = [x = 1]$

这个有什么用？这是单位元，任何函数卷单位元都等于它本身（不懂手膜^^）。

恒等函数：$I(x) = 1$。

单位函数：$\mathrm{id}(x) = x$。

非完全积性函数

重点来力！

$\mu(x)$ 莫比乌斯函数

定义：
\[ \mu(x) = \begin{cases} 1 & , x = 1 \\ (-1) ^ k & , x = \prod\limits_{i = 1} ^ k p_i \\ 0 & , Otherwise \end{cases} \]
性质：$\sum\limits_{d|n} \mu(d) = [n = 1]$

有一个关系：
\[ μ∗1=ϵ \]
它可以用来满足莫比乌斯反演的推理过程，看到后面就知道了。

莫比乌斯反演

现有关系：
\[ F(n)=\sum\limits_{d|n}f(d) \]
即
\[ F=f*1 \]
则有：
\[ f(n)=F*\mu=\sum\limits_{d|n}\mu(\frac{n}{d})f(d)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d}) \]
是不是用到了上面的那个 $3$ 式？但如何理解上面这个柿子？我一开始脑残了，其实它就是换了一下约数的枚举顺序，所以在这里 $d$ 和 $\frac {n}{d}$

是等效的。

如何筛 $\mu $？方法和线性筛大同小异。

直接给代码，应该比较好懂。

void mobius() {
    v[1] = 1;
    miu[1] = 1;
    for (int i = 2; i < N; i++) {
        if(!v[i]) {
            v[i] = i;
            p[++cnt] = i;
            miu[i] = -1;
        }
        for (int j = 1; j <= cnt; j++) {
            if(p[j] * i > N) break;
            miu[p[j] * i] = i % p[j] == 0 ? 0 : -miu[i];
            v[i * p[j]] = 1;
            if(i % p[j] == 0) break;
        }
    }
}

技巧：
\[ [gcd(i,j)=1]=\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d) \]
证明：

由 $\mu * 1=\epsilon$，

即 $\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]$，

将 $n$ 替换成 $\gcd(i,j)$ 即可。

又 $d|\gcd(x,y)$ $\leftrightarrow$ $d|x$，$d|y$，可以枚举倍数来求。

常见反演：

设
\[ f(d)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=d]。 \]
则有：
\[ \begin{align} F(x)&=\sum_{x|d}f(d)\\ &=\sum_{x|d}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=d]\\ &=\sum_{x|d}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[x|i,x|j]\\ &=\lfloor \frac{n}{x} \rfloor \lfloor \frac{m}{x} \rfloor \end{align} \]
于是 $F$ 是个可以 $O(1)$ 计算的玩意了。

再反演一下，利用分块就可以做题力^^。

$\varphi$ 与 $\mu$ 的关系：
\[ \begin{align} &Id=\varphi *1\\ &Id*\mu =\varphi\\ &\varphi(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\frac{n}{d}\\ &\frac{\varphi(n)}{n}=\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d} \end{align} \]
如果 $d(n)$ 为 $n$ 的约数个数，则有关于 $d(n)$ 的一个挺好用的结论：
\[ d(nm)=\sum_{i|n}\sum_{j|m}[gcd(i,j)==1] \]
证明：

设 $nm=\prod p_i^{x_i}$，$n=\prod p_i^{y_i}$，则有 $m=\prod p_i^{x_i-y_i}$。

设
\[ i = p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot p_3^{a_3}\cdots p_k^{a_k}，j = p_1^{b_1}\cdot p_2^{b_2}\cdot p_3^{b_3}\cdots p_k^{b_k} \]
先看第一项。要使 $\gcd(i,j)==1$，则要么 $a_1$ 为 $0$，要么 $b_1$ 为 $0$。若 $a_1=0$，则 $b_1$ 有 $x_1-y_1+1$ 种取值，若 $b_1=0$，则 $a_1$ 有 $y_1+1$ 种取值，$a_1=b_1=0$ 的情况重复了，所以一共有 $x_1+1$ 种取值。但其实这对于任意的 $i$ 也是如此。

所以满足条件的 $i, j$ 对数为 $\prod(x_i + 1)$。这与约数定理给出的形式一致，就得证了。

Orz sengxian 写的是真清楚。

话说写东西怎么这么麻烦啊艹，不写了，累死了。