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题目回顾
求斐波那契数列的第n个数
1, 1, 2 , 3, 5,8,…
/**
* 递归算法
* @param n 第n个数
* @return 第n个数的值
*/
private static long Fibonacci(int n) {
if(n == 1 || n == 2) {
return 1;
} else {
return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}
}
优化题解
递归算法的不足
-
耗时
测试:求斐波那契数列的第50个数
耗时长的原因 : 相同入参的f(n)被重复执行
-
占用较多系统栈空间
相同入参的f(n)等待返回值,未找到递归出口会一直堆积在系统栈中
算法改良思路
1. 消除重复计算 —— 引入数据结构
处理方式:保存f(n)的运算结果
如 : f(5) = f(4) + **f(3) **
f(4) = **f(3) ** + f(2)
f(3) = f(2) + f(1)
当f(3)完成计算后,存入公共容器,下次需要f(3)计算结果直接返回
选用数据结构 —— 数组arr
第1个数 = 1
第2个数 = 1
第3个数 = 2
…
第 n 个数 = (要求的数)
n 可以成为数组的下标
arr[n] 为返回值
long[] result = new long[n + 1]; // n + 1 防止数组越界
result[1] = 1;
result[2] = 1;
return result[n];
思考一个问题 :
求100以内的所有素数能不能用数组优化?(可以,存储的是将要计算的值)代码
2.减少栈空间使用 —— 消除递归
原来递归的调用顺序顺序 n - > n-1 -> … -> 5 -> 3 -> 2 -> 1 其中
换个角度思考问题,使用循环可以同样取到目标值
将调用顺序改为 1 -> 2 -> 3 ->… -> n -1 -> n
for(int i = 3; i <= n; i++) {
// result[1] 和 result[2] 的值巧妙的结合在表达式里,并防止越界
result[i] = result[i - 1] + result[i - 2];
}
思考一个问题 :
查找目录结构可以用循环取代递归吗?(可以,需要自己用Stack模拟系统栈,找到最大目录深度,代码待填坑)
3. 生成算法 —— 动态规划
private static long FibonacciWithArray(int n) {
// n + 1 防止数组越界
long[] result = new long[n + 1];
result[1] = 1;
result[2] = 1;
for(int i = 3; i <= n; i++) {
result[i] = result[i - 1] + result[i - 2];
}
// 数组的第n个元素存放的是第n个斐波那契数列
return result[n];
}
动态规划算法
优势
时间消耗从 39 秒优化到了 1 毫秒以内,减少系统栈空间使用
劣势
long[] result = new long[n + 1];
增加堆内存的使用
总结
-
算法的实现
- 从不同的角度思考问题:(存储、遍历…等)
-
斐波那契问题
- 递归算法 -> 没有使用数据结构
- 动态规划算法 -> 使用了数据结构:数组
- 综上,算法和数据结构都可以独立存在,但是数据结构可以成为算法的组成部分。
-
HashMap
- HashMap 是 Java 提供的应用层数据结构
- HashMap 的实现是借助 数组 + 链表(红黑树)+ 两个数据结构的协同算法
- 综上,强大的数据结构往往结合了优秀的算法,优秀的算法又可能依赖数据结构。
-
斐波那契问题 + HashMap
- 数据结构和算法的关系是可以独立存在,又能相辅相成