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上一篇文章学习了:【算法设计与分析】15 分治策略:芯片测试
1. 快速排序的基本思想
- 用首元素 x 作划分标准,将输入数 组 A划分成不超过 x 的元素构成的数 组 AL,大于 x 的元素构成的数组 AR. 其中 AL, AR从左到右存放在数组 A 的位置.
- 递归地对子问题 AL和 AR 进行排序, 直到子问题规模为 1 时停止.
下面两张图是它的伪代码表示:
划分的过程为:
以下是划分的例子:
1.2 时间复杂度的计算
1.21 最坏情况时间复杂度计算
最坏情况:
- W(n) = W(n-1)+n-1
- W(1) = 0
得出:
- W(n) = n(n-1)/2
在最坏情况下,有一种可能为:每次划分,首元素依然是在首元素,它是最小的(或者是最大的),下次划分也是同样的结果。这种情况下,是最坏的情况。子问题永远比上一个原问题只少了一个元素。并且每次都需要对n-1个元素进行遍历比较。
由上面的结果看出最坏的情况的时间复杂度是O(n2)
1.22 最好情况时间复杂度
最好情况下,就是每一次划分,AL 与AR 总是均衡的在两边,首元素最终落到中间。那么子问题就变成了原问题的一半的元素数量(但是有两个子问题)。
- T(n) = 2 T(n/2)+n-1
- T(1) = 0
得出:
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以上两种时间复杂度是最好和最坏的情况下。那么均衡额时间复杂度如何计算呢?
在计算均衡时间复杂度之前先来看看划分之后AL 与 AR 的比例是固定时的时间复杂度是多少?
例如子问题的规模比是1:9时,那么有:
- T(n) = T(n/10) + T(9n/10) + n
- T(1) = 0
根据递归树,时间复杂度为:
注释,上面的递归树计算如下:
1.23 平均时间复杂度计算
那么平均时间复杂度计算如下:
首元素最后落在的位置,可能在1,2,3…n
假设情况的概率均为1/n,那么各个情况下,子问题的计算规模如下:
- 首元素在位置 1: T(0), T(n-1)
- 首元素在位置 2: T(1), T(n-2)
…
- 首元素在位置 n-1: T(n-2), T(1)
- 首元素在位置 n: T(n-1), T(0)
那么子问题的工作量一共为:2[T(1)+T(2)+…+T(n-1)]
划分工作量 n-1
那么平均情况下时间复杂度计算公式为:
首元素划分后每个位置概率相等
2 总结
快速排序一般人都能写出来,但是要理解它的时间复杂度计算,恐怕并不是一般人都会计算,我们要追根问底。
快速排序算法
• 分治策略
• 子问题划分是由首元素决定 • 最坏情况下时间O(n2)
• 平均情况下时间为O(nlogn)