E 分治

题目

知识点

分治，分而治之。就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。

通常对一维序列，都是分解为两个子问题,l-mid,mid-r。

常见的分治算法，归并排序，二分等等。

练习题

逆序对的个数。

逆序对的定义：在一个序列 $a$ 中，如果 $i<j$ 且 $a_{i}>a_{j}$那么 $a_{i}a_{j}$ 就是一个逆序对。

输入

第一行一个数n，表示序列的长度。 $(1≤n≤10^{5})$

接下来一行，n个整数，保证在int范围内

输出

一行一个数，表示逆序对的个数

输入样例

5
1 2 3 4 5

输出样例

0

思路

经典问题，逆序对。

考虑归并排序的过程。在对[l,mid]和[mid+1,r]两个区间进行合并的过程中，这两个区间都是有序的。如果L区间当前的值 $l_{i}$ 小于R区间的值 $r_{j}$，那么构不成逆序对，反之，[i,mid]这个区间的所有值必然大于 $r_{j}$，也就是说， $r_{j}$贡献了mid-i+1个逆序对。

代码

unsigned long long merge(vector<int>&a, int l, int mid, int r)
{
    unsigned long long count = 0;
    int p1 = l;
    int p2 = mid + 1;
    unsigned long long i = 0;
    vector<int> help(r - l + 1);//将包含r-l+1个（从l到r的数的个数
    while (p1 <= mid && p2 <= r)
    {
        count += a[p1] > a[p2] ? (mid - p1 + 1) : 0;
        help[i++] = a[p1] <= a[p2] ? a[p1++] : a[p2++];
    }
    while (p1 <= mid)
        help[i++] = a[p1++];
    while (p2 <= r)
        help[i++] = a[p2++];
    for (i = 0; i < help.size(); i++)
        a[l + i] = help[i];
    return count;
}
unsigned long long mergeSort(vector<int>&a, int l, int r)
{
    if (l == r)
        return 0;
    int mid = l + (r - l) / 2;
    return mergeSort(a, l, mid) + mergeSort(a, mid + 1, r) + merge(a, l, mid, r);
}
unsigned long long SmallSum(vector<int>a)
{
    if (a.size() < 2)
        return 0;
    return mergeSort(a, 0, (int)a.size()-1);
}


int main()
{
    vector<int> a;
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++){
        int b;
        cin>>b;
        a.push_back(b);
    }
    cout << SmallSum(a) << endl;
    return 0;
}