已知函数\(f(x)=(ax-x^2)\mathrm{e}^x(a\geqslant 0)\).
\((1)\) 若函数\(f(x)\)在区间\([2,+\infty)\)上单调递减,求实数\(a\)的取值范围;
\((2)\) 设\(f(x)\)的两个极值点为\(x_1,x_2(x_1>x_2)\),若\(a\geqslant \dfrac{2\sqrt{11}}{5}\),求证:\(f(x_1)+f(x_2)>0\).附注\(:{\ln}11\approx 2.398\).
解析:
\((1)\) 对\(f(x)\)求导可得\[ f'(x)=\left[-x^2+\left(a-2\right)x+a\right]\mathrm{e}^x.\]由于\(f(x)\)在区间\([2,+\infty)\)单调递减,因此\(\forall x\geqslant 2,f'(x)\leqslant 0\),参变全分离可得\[ \forall x\geqslant 2,a\leqslant (x+1)-\dfrac{1}{x+1}.\]易求得上述不等式右侧表达式在\(x=2\)时,取得最小值\(\dfrac 83\),因此\(a\)的取值范围是\(\left(-\infty,\dfrac 83\right]\).

\((2)\) 由题可知\(x_1,x_2\)是下述关于\(x\)的一元二次方程的两个解\[ -x^2+(a-2)x+a=0,a\geqslant \dfrac{2\sqrt{11}}{5}.\]其中\(x_1<x_2\),由求根公式易得\[ x_1=\dfrac{-2+a-\sqrt{4+a^2}}{2},x_2=\dfrac{-2+a+\sqrt{4+a^2}}{2}.\]
%显然当\(a\geqslant \dfrac{2\sqrt{11}}{5}\)时, \(x_2\)是关于\(a\)的单调递增的函数,易求得\(x_2\)的取值范围为\(\left[ \dfrac{\sqrt{11}+1}{5},+\infty \right)\).且有
从而\[ \begin{cases} &ax_1-x_1^2=2x_1-a=-\sqrt{a^2+4}-2,\\ &ax_2-x_2^2=2x_2-a=\sqrt{a^2+4}-2, \end{cases} \]
于是\[ \begin{split} f(x_1)+f(x_2)&=\left(-\sqrt{a^2+4}-2\right)\mathrm{e}^{x_1}+\left(\sqrt{a^2+4}-2\right)\mathrm{e}^{x_2}\\ &=\dfrac{\mathrm{e}^{x_1}}{\sqrt{a^2+4}+2}\cdot\left[\dfrac{\sqrt{a^2+4}-2}{\sqrt{a^2+4}+2}\cdot \mathrm{e}^{\sqrt{a^2+4}}-1 \right]\\ &>0. \end{split} \]
证毕.