题意

给出一棵树，初始点集\(S\)为空，每次操作加入一个点到\(S\)中或从\(S\)中删除一个点，询问一个树上的最小的能覆盖\(S\)中所有点的连通块的边权和。
\(n, q \leq 3e5\)。

题解

很像个虚树的模型，但是很遗憾，虚树太逊了，是离线算法。
但是考虑到每次加点/删点，增加/减少的贡献好像并不复杂，所以可以直接用dfs序做。
用加点来举例子。每当要加入一个点\(x\)，我们找到点集\(S\)中dfs序与\(x\)相邻的两个点（一前一后），设为\(p\)和\(q\)。
则\(x\)到\(p \leftrightarrow q\)的路径上没有其他\(S\)中的点，而我们要加入的贡献就是\(x\)到\(p \leftrightarrow q\)这条路径的距离。
距离为
\[ len[x] - len[lca(x, p)] - len[lca(x, q)] + len[lca(p, q)] \]
注意如果找不到\(p\)或找不到\(q\)的话要特殊处理。
复杂度\(\mathcal O((n + q) \log n)\)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 3e5 + 5, H = 18;
int n, q, tot, times; ll ans;
int lnk[N], nxt[N << 1], son[N << 1], w[N << 1];
int id[N], dfn[N], dep[N], fa[N][H]; ll len[N];
set <int> s;
void add (int x, int y, int z) {
    nxt[++tot] = lnk[x], lnk[x] = tot, son[tot] = y, w[tot] = z;
}
void dfs (int x, int p) {
    id[dfn[x] = ++times] = x, dep[x] = dep[p] + 1, fa[x][0] = p;
    for (int i = 1; i < H; ++i) {
        fa[x][i] = fa[fa[x][i - 1]][i - 1];
    }
    for (int j = lnk[x], y; j; j = nxt[j]) {
        y = son[j];
        if (y != p) {
            len[y] = len[x] + w[j];
            dfs(y, x);
        }
    }
}
int lca (int x, int y) {
    if (dep[x] < dep[y]) {
        swap(x, y);
    }
    int dif = dep[x] - dep[y];
    for (int i = H - 1; ~i; --i) {
        if (dif >> i & 1) {
            x = fa[x][i];
        }
    }
    if (x == y) {
        return x;
    }
    for (int i = H - 1; ~i; --i) {
        if (fa[x][i] != fa[y][i]) {
            x = fa[x][i], y = fa[y][i];
        }
    }
    return fa[x][0];
}
ll calc (int x) {
    int p = *(--s.lower_bound(dfn[x]));
    int q = *s.upper_bound(dfn[x]);
    if (dfn[x] < *s.begin()) {
        return len[q] - len[x];
    } else
    if (dfn[x] > *(--s.end())) {
        return len[x] - len[p];
    } else {
        return len[x] - len[lca(x, id[p])] - len[lca(x, id[q])] + len[lca(id[p], id[q])];
    }
}
void append (int x) {
    ans += calc(x);
    s.insert(dfn[x]);
}
void remove (int x) {
    s.erase(dfn[x]);
    ans -= calc(x);
}
int main () {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1, x, y, z; i < n; ++i) {
        scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
        add(x, y, z), add(y, x, z);
    }
    dfs(1, 0);
    scanf("%d", &q);
    for (int i = 1; i <= q; ++i) {
        char op[5]; int x;
        scanf("%s%d", op, &x);
        if (op[0] == '+') {
            append(x);
        } else {
            remove(x);
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}