第二章典型例题
[齐次解法解冲激响应] (连续系统)
例一
已知某线性时不变系统的微分方程为\(r^{''}(t)+5r^{'}(t)+6r(t)=3e^{'}(t)+2e(t)\),求该系统的冲激响应\(h(t)\).
解:特征根为\(-2\)和\(-3\),可得
\[ \hat{h}(t)=C_1e^{-2t}+C_2e^{-3t} \]
由于在使用齐次解法求冲激响应时,只有\(\hat{h}^{(n-1)}(0_+)=\frac{1}{C_0}\)(其中\(C_0\)为微分方程中\(r^n(t)\)的系数),其余各阶导数均为\(0\),所以有
\[ \begin{cases} \hat{h}(0_+)=0\notag\\ \hat{h}^{'}(0_+)=0\notag \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} C_1=1\notag\\ C_2=-1\notag \end{cases} \]
即
\[ \hat{h}(t)=(e^{-2t}-e^{-3t})u(t) \]
再根据微分方程右式的形式,有
\[ \begin{align}h(t)&=3\hat{h}^{'}(t)+2\hat{h}(t)\notag\\&=(7e^{-3t}-4e^{-2t})u(t)\notag\end{align} \]
值得注意的是,在求解过程中,要把\(u(t)\)当作一个函数看待,求导时要根据求导法则对其同等处理.
例二
已知某线性时不变系统的微分方程为\(r^{'}(t)+2r(t)=e^{''}(t)+3e^{'}(t)+3e(t)\),求该系统得冲激响应.
解:易知特征根为
\[ r=-2 \]
所以有
\[ \hat{h}(t)=Ae^{-2t}\tag{*} \]
又因为
\[ \hat{h}(0_+)=1 \]
将该条件带入\((*)\)式,可得
\[ \hat{h}(t)=e^{-2t}u(t) \]
再根据微分方程右式得形式,可得
\[ \begin{align}h(t)&=\hat{h}^{''}(t)+3\hat{h}^{'}(t)+3\hat{h}(t)\notag\\&=[4e^{-2t}u(t)-2\delta(t)+\delta^{'}(t)]+3[-2e^{-2t}u(t)+\delta(t)]+3[e^{-2t}u(t)]\notag\\&=e^{-2t}+\delta(t)+\delta^{'}(t)\notag\end{align} \]
[全响应]
例三
已知某线性时不变系统的微分方程为\(r^{''}(t)+3r^{'}(t)+2r(t)=2e^{'}(t)+6e(t)\),激励\(e(t)=u(t)\),初始状态\(r(0_-)=2\),\(r^{'}(0_-)=0\)求该系统的全响应,零输入响应,零状态响应.
解:根据题意,微分方程可写为
\[ r^{''}(t)+3r^{'}(t)+2r(t)=2\delta(t)+6u(t) \]
易知特征根为
\[ r=-1\text{ or }-2 \]
齐次解为
\[ r(t)=A_1e^{-t}+A_2e^{-2t} \]
又因为在\(t>0\)时,方程可写为
\[ r^{''}(t)+3r^{'}(t)+2r(t)=6u(t) \]
可设特解为一常数,带入方程可得特解为\(3\),则有
\[ r(t)=A_1e^{-t}+A_2e^{-2t}+3 \tag{*} \]
由于右式有冲激函数,所以\(r^{''}(t)\)含有冲激函数,从而\(r^{'}(t)\)会发生跳变,幅度为\(2\),即
\[ \begin{cases} r(0_+)=r(0_-)=2\notag\\ r^{'}(0_+)=r^{'}(0_-)+2=2\notag \end{cases} \]
将上式代入\((*)\),得系统的全响应为
\[ r(t)=-e^{-2t}+3 \]
接下来求零输入响应,根据特征根,可得
\[ r_{zi}(t)=B_1e^{-t}+B_2e^{-2t} \]
带入题目中得初始条件,求解整理可得
\[ r_{zi}(t)=4e^{-t}-2e^{-2t} \]
零状态响应等于全响应减去零输入响应,即
\[ r_{zs}(t)=-4e^{-t}+e^{-2t}+3 \]
[离散系统单位样值响应]
例四
已知某线性时不变系统的微分方程为\(y(n)-5y(n-1)+6y(n-2)=-2x(n)+x(n-1)\),求该系统得单位样值响应.
解:先只考虑右边只有\(\delta(n)\)的情况(类比连续时间系统求冲激响应的齐次解法),即为
\[ h(n)-5h(n-1)+6h(n-2)=\delta(n)\tag{*} \]
易知
\[ \hat{h}(n)=A_12^n+A_23^n\tag{**} \]
根据\((*)\)式,可得边界条件
\[ \begin{cases}\hat{h}(0)=1\notag\\\hat{h}(-1)=0\notag\end{cases} \]
将边界条件带入\((**)\)式,可得
\[ \hat{h}(n)=(-2\cdot2^n+3\cdot3^n)u(n) \]
根据微分方程右式形式可得
\[ h(n)=-2\delta(n)+(3\cdot2^n-5\cdot3^n)u(n-1) \]