设向量\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\)满足\(|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=2|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|\),\(|\boldsymbol{a}|=3\),则\(|\boldsymbol{b}|\)的取值范围为\(\underline{\qquad\qquad}\).

法一 由题设 \[\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)=(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}),\]不妨令\(\boldsymbol{a}=(3,0)\).

设\(\left|\overrightarrow{OB}\right|=b\),记\(M\)为\(AB\)中点,且记\(|AM|=m\),则由题\[ 2|OM|=|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=2|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=4m.\]所以\(|OM|=2m\),从而可判断点\(M\)的轨迹是阿波罗尼斯圆,且该圆方程为\[ (x-4)^2+y^2=4.\]于是\(m=|AM|\)的取值范围为\([1,3]\),再结合中线长定理可得\[ |OA|^2+|OB|^2=2\left(|OM|^2+|MA|^2\right).\]即\[ b^2=10m^2-9.\]因此\(b\)的取值范围为\([1,9]\).

法二 由题,不妨设\[ \boldsymbol{a}=(3,0),\boldsymbol{b}=(x,y).\]则由题中所给已知条件$
|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=2|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|,$
可得\[ (x-5)^2+y^2=16. \]
所以\(x\)的取值范围为\([1,9]\),从而\[ \boldsymbol{b}^2=x^2+y^2=x^2+16-(x-5)^2=10x-9.\]所以\(|\boldsymbol{b}|\)的取值范围为\([1,9]\).