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平衡二叉树——AVL树的实现
AVL树是最先发明的自平衡二叉查找算法,是平衡二叉树的一种。在AVL中任何节点的两个儿子子树的高度最大差别为1,所以它又被成为高度平衡树。查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(log n)。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来平衡这棵树。
假设把AVL树构造过程中需要重新平衡的节点叫做α。由于任意节点最多有两个儿子,因此高度不平衡时,α点的两颗子树的高度差2。这种不平衡可能出现在下面这四种情况:
1) 对α的左儿子的左子树进行一次插入(左旋)
其中D是新插入的节点,红色节点K2是失去平衡的节点。需要对K1和K2进行左旋调整即将K1作为根,将K2作为K1的左子树,K1的右子树调整为K2的左子树。如下图所示
进行左旋变换
代码如下:
- static Position SingleRotateWithLeft(Position K2)
- {
- Position K1;
- K1 = K2->Left;
- K2->Left = K1->Right;
- K1->Right = K2;
- //更新节点的高度
- return K1;
- }
2)对α的左儿子的右子树进行一次插入(左右双旋)
左右双旋这里的左右指的是对α的左儿子的右子树进行插入时需要旋转。先对K1和K2进行右旋(跟第四种情况类似),然后再对K3和K2进行左旋,最终实现平衡。如下图所示
进行一次右旋进行一次左旋
代码如下:
- static Position DoubleRotateWithLeft(Position K3)
- {
- K3->Left = SingleRotateWithRight(K3->Left);
- return SingleRotateWithLeft(K3);
- }
3)对α的右儿子的左子树进行一次插入(右左双旋)
右左双旋:先对K1和K2进行左旋,然后在对K2和K3进行右旋,最终实现平衡。如下图所示
进行一次左旋进行一次右旋
代码如下:
- static Position DoubleRotateWithRight(Position K3)
- {
- K3->Right = SingleRotateWithLeft(K3->Right);
- return SingleRotateWithRight(K3);
- }
4)对α的右儿子的右子树进行一次插入(右旋)
将K2的右子树更改为K1的左子树,K1的左子树更改为K2即完成的右旋,如下图所示
进行右旋
代码如下:
- static Position SingleRotateWithRight(Position K2)
- {
- Position K1;
- K1 = K2->Right;
- K2->Right = K1->Left;
- K1->Left = K2;
- //更新节点高度
- return K1;
- }
avltree.h给出函数声明
- typedef int ElementType;
- #ifndef AVLTREE_H
- #define AVLTREE_H
- struct TreeNode
- {
- ElementType Element;
- int Height;
- struct TreeNode *Left;
- struct TreeNode *Right;
- };
- typedef struct TreeNode *AvlTree;
- typedef struct TreeNode *Position;
- AvlTree MakeEmpty(AvlTree T);
- AvlTree Insert(ElementType X, AvlTree T);
- Position Find(ElementType X ,AvlTree T);
- Position FindMax(AvlTree T);
- Position FindMin(AvlTree T);
- #endif
- #include "fatal.h"
- #include "avltree.h"
- AvlTree MakeEmpty(AvlTree T)
- {
- if(T != NULL)
- {
- MakeEmpty(T->Left);
- MakeEmpty(T->Right);
- free(T);
- }
- return NULL;
- }
- static int Height(Position P)
- {
- if(P == NULL)
- return -1;
- else
- return P->Height;
- }
- static int Max(int Lhs, int Rhs)
- {
- return Lhs > Rhs ? Lhs : Rhs;
- }
- static Position SingleRotateWithLeft(Position K2)
- {
- Position K1;
- K1 = K2->Left;
- K2->Left = K1->Right;
- K1->Right = K2;
- K1->Height = Max(Height(K1->Left), Height(K1->Right)) + 1;
- K2->Height = Max(Height(K2->Left), Height(K2->Right)) + 1;
- return K1;
- }
- static Position SingleRotateWithRight(Position K2)
- {
- Position K1;
- K1 = K2->Right;
- K2->Right = K1->Left;
- K1->Left = K2;
- K1->Height = Max(Height(K1->Left), Height(K1->Right)) + 1;
- K2->Height = Max(Height(K2->Left), Height(K2->Right)) + 1;
- return K1;
- }
- static Position DoubleRotateWithLeft(Position K3)
- {
- K3->Left = SingleRotateWithRight(K3->Left);
- return SingleRotateWithLeft(K3);
- }
- static Position DoubleRotateWithRight(Position K3)
- {
- K3->Right = SingleRotateWithLeft(K3->Right);
- return SingleRotateWithRight(K3);
- }
- AvlTree Insert(ElementType X, AvlTree T)
- {
- if(T == NULL)
- {
- T = (Position)malloc(sizeof(struct TreeNode));
- if(T == NULL)
- FatalError("Out of space");
- T->Element = X;
- T->Height = 0;
- T->Left = T->Right = NULL;
- }
- else if(X < T->Element)//左子树插入新节点
- {
- T->Left = Insert(X, T->Left);
- if(Height(T->Left) - Height(T->Right) == 2)//左子树插入节点所以高度是左子树高于右子树
- {
- if(X < T->Left->Element)//对α的左儿子的左子树进行一次插入,需要左旋
- T = SingleRotateWithLeft(T);
- else //对α的左儿子的右子树进行一次插入,需要双旋
- T = DoubleRotateWithLeft(T);
- }
- }
- else if(X > T->Element)//右子树插入新节点
- {
- T->Right = Insert(X, T->Right);
- if(Height(T->Right) - Height(T->Left) == 2)//因为是右子树插入新节点,所以高度是右子树高于左子树
- {
- if(X > T->Right->Element)//对α的右儿子的右子树进行一次插入,需要右旋
- T = SingleRotateWithRight(T);
- else//对α的右儿子的左子树进行一次插入,需要双旋
- T = DoubleRotateWithRight(T);
- }
- }
- T->Height = Max(Height(T->Left), Height(T->Right)) + 1;
- return T;
- }
- Position Find(ElementType X, AvlTree T)
- {
- if(T == NULL)
- return NULL;
- if(X < T->Element)
- return Find(X, T->Left);
- else if(X > T->Element)
- return Find(X, T->Right);
- else
- return T;
- }
- Position FindMin(AvlTree T)
- {
- if(T == NULL)
- return NULL;
- else if(T->Left == NULL)
- return T;
- else
- return FindMin(T->Left);
- }
- Position FindMax(AvlTree T)
- {
- if(T == NULL)
- return NULL;
- else if(T->Right == NULL)
- return T;
- else
- return FindMax(T->Right);
- }
testavl.c测试AVL树的实现
- #include "avltree.h"
- #include
- #include
- void InOrder(AvlTree T)
- {
- if(T != NULL)
- {
- InOrder(T->Left);
- printf("%d ", T->Element);
- InOrder(T->Right);
- }
- }
- void PreOrder(AvlTree T)
- {
- if(T != NULL)
- {
- printf("%d ", T->Element);
- PreOrder(T->Left);
- PreOrder(T->Right);
- }
- }
- int main(void)
- {
- AvlTree T;
- Position P;
- int i;
- T = MakeEmpty(NULL);
- for(i = 1; i <= 7; i++)
- T = Insert(i, T);
- for(i = 16; i >= 10; i--)
- T = Insert(i, T);
- T = Insert(8, T);
- T = Insert(9, T);
- printf("Root: %d\n", T->Element);
- printf("InOrder: ");
- InOrder(T);
- printf("\nPreOrder: ");
- PreOrder(T);
- putchar('\n');
- system("Pause");
- return 0;
- }
测试:首先插入1到7,然后插入16到10,最后插入8和9。AVL树的应该为下图所示
测试结果如下图所示