前言
案例列举
- 冗余运算步骤太多
有学生这样运算，
\[-ax<2-\cfrac{1}{x}\]
\[-a<\cfrac{2}{x}-\cfrac{\frac{1}{x}}{x}\]
\[-a<\cfrac{2}{x}-\cfrac{1}{x^2}\]
\[a>-\cfrac{2}{x}+\cfrac{1}{x^2}\]
\[a>\cfrac{1}{x^2}-\cfrac{2}{x}\]
上述解法的书写过程中，出现了太多的不必要的步骤，有些步骤需要一定的口算心算能力，而不必要写出来。
其实，上述过程最多写两步，超过就是多余了。
\[ax>\cfrac{1}{x}-2\]
\[a>\cfrac{1}{x^2}-\cfrac{2}{x}\]
- 思维僵化，比如求函数零点的方法有解方程法，图像法，零点存在性定理法三种，而同一个题目中可能要用到\(2\)种以上。
如求函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x^2-2，x\leqslant 0}\\{2x-6+lnx，x>0}\end{array}\right.\)的零点个数时，第一段用解方程法，第二段用图像法，共有两个零点。
如果你死守着只用一种，速度自然就会慢下来；
- 当计算思路比较多时对各种思路的难易程度的预估；
思路一：利用\((\cfrac{u}{v})'=\cfrac{u'v-uv'}{v^2}\)计算
\(g'(x)=\cfrac{[2(1+lnx)+2x]x-(2xlnx+x^2+3)\cdot 1}{x^2}=\cfrac{x^2+2x-3}{x^2}\)；
思路二：先化简再求导后通分，\(g(x)=2lnx+x+\cfrac{3}{x}\)，
则\(g'(x)=\cfrac{2}{x}+1-\cfrac{3}{x^2}=\cfrac{x^2+2x-3}{x^2}\)
思路一：
法1：变形运算较难，利用\(f(-x)=\pm f(x)\)来判断；
\(f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}+x)=ln(\cfrac{1}{\sqrt{x^2+1}-x})\) \(=ln(\sqrt{x^2+1}-x)^{-1}=-ln(\sqrt{x^2+1}-x)=-f(x)\)
即函数\(f(x)\)为奇函数；
备注：\((\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x)=1\)；\((\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=1\)；
法2：变形运算容易，利用变形式\(f(-x)\pm f(x)=0\)来判断；
由于\(f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)\)，则\(f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}+x)\)，
即\(f(x)+f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)+ln(\sqrt{x^2+1}+x)=ln1=0\)，即函数\(f(x)\)为奇函数；
引例2，已知函数\(g(x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}+sinx)\)，判断其奇偶性；
分析：同上例，可知\(g(-x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}-sinx)\)，即\(g(x)+g(-x)=lg1=0\)，即函数\(g(x)\)为奇函数；
反思：虽然说\(f(-x)=-f(x)\)和\(f(-x)+f(x)=0\)是等价的，但是有时候我们感觉二者是有区别的，尤其是涉及到对数型函数的奇偶性的判断时，更是如此；
- 数学公式的使用不灵活，逆用，
比如给定f+f=f，会正用，不会逆用