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证明: 当 时, .
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证明: 当 时, .
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计算以下渐近等式
中的待定常数 .
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设非负严格增加函数 在区间 上连续, 有积分中值定理, 对于每个 存在唯一的 , 使
试求 .
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设 , 为实数, 且存在有限极限
证明; .
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Assume that is a positive constant, are two nonnegative functions, and is a nonnegative function, satisfying
If additionally, the initial data satisfy
then, for any , one has
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For with , we have
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设 , 矩阵
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设 , 求 .
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证明不等式:
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设数列 满足 , . (1) 证明 存在, 并求其极限; (2) 计算 ; (3) 证明 ; (4) 计算 .
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设 在 上连续, 又
单调递减. 证明: .
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设 是 阶实对称矩阵, 其正负惯性指数分别是 . 再设
证明:
(1) 包含于 的线性空间的维数至多是 ;
(2) 若 是 的一个线性子空间, 将二次型限定在 中得到正负惯性指数分别是 , 则有 , .
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在 [Yosida, Kōsaku. Functional analysis. Reprint of the sixth (1980) edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1995] 第 126-127 页给出了一致凸 Banach 空间的定义: 若 Banach 空间 满足
则称 是一致凸的 Banach 空间. 试证: 若 满足
则
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设 是有理数域 上的三维线性空间, 是一个线性变换. 已知 满足
证明: 向量组 是 的一组基.
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设 在 上连续, 在 内可导, 且 , . 证明: 对于任意的实数 , 一定存在 , 使得
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函数 在 上单调减, 证明: 对于任何 ,
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设 , , 级数 发散, 证明: 发散.
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设 在 上一阶连续可导, . 证明:
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设 二阶连续可导, , . 证明:
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试证:
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设 是 阶 Hermite 矩阵, 即 . 试证:
(1) , ;
(2) 的特征值均为实数;
(3) ;
(4) 可逆;
(5) 是酉矩阵, 即 ;
(6) 可逆;
(7) .
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设 是 阶酉矩阵, 满足 . 试证: 存在唯一的 阶 Hermite 矩阵 使得 .
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试证:
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设 是 上的连续函数, 满足
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在实数空间 中给定如下等价关系:
设在这个等价关系下得到的商集 , 试写出 的商拓扑.
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域 上的矩阵 称为幂等矩阵, 如果 . 试证: 若 幂等, 则 可对角化, 且 .
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[兰州大学2013高代] 设 是一个数域, 是 上所有 级矩阵构成的 上的线性空间, 是 上的线性变换, 证明: 若 保持矩阵的乘法运算, 即对任意 ,
则存在 级可逆矩阵 使得对任意 , 有 .
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see [李大潜, 秦铁虎, 物理学与偏微分方程 (第二版) 上册, 北京: 高等教育出版社, 2005 年] 第 163 页.