\(m>n>e,\) 求证\(n^m>m^n.\)
证:
令\(f(x)=\frac{x}{ln(x)}\)
\(∴f'(x)=\frac{ln(x)-1}{ln(x)^2}\)
\(∵m>n>e\)
\(又∵ln(x)\)递增
\(∴ln(m)>ln(n)>ln(e)=1\)
\(∴\)当\(x>e\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)递增
\(∵m>n>e\)
\(∴f(m)>f(n)\)
\(∴\frac{m}{ln(m)}>\frac{n}{ln(n)}\)
\(∴m\cdot ln(n)>n\cdot ln(m)\)
\(∴ln(n^m)ln(m^n)\)
\(∴n^m>m^n\)
zzy ak ioi
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