一项智力游戏的规则如下:在\(4\times 4\)的宫格中放上\(8\)面完全相同的标志旗帜,每行每列有且只有\(2\)面旗帜,则不同的放法有\(\underline{\qquad\qquad}\) 种.
解析
法一 由于\(4\times 4\)的宫格每一列只插有两面旗子(青色),
情形一 \(\rm{XXYY}\)型 由于 \(\rm{X}\)一旦确定,则 \(\rm{Y}\)随之唯一确定,因此该种情形 \(\rm{X}\)与 \(\rm{Y}\)的组合种数有 \(3\)种.而每一种组合都对应 \(\rm{C}_4^2=6\)种排列,因此 \(\rm{XXYY}\)型的个数共计 \(3\cdot 6=18\)种.
情形二 \(\rm{XYZW}\)型 对于该种情形,分两步解决.
第一步 确定 \(4\times 4\)宫格中四列的类型 在选择的时候必然是从 \(\rm{ABC}\)中选 \(2\)种,再从 \(\rm{DEF}\)中选 \(2\)种,并且前两种一旦确定下来,则后两种随之唯一确定,因此在选择基因这件事情上,满足题意的选法有 \(\rm{C}_3^2=3\)种.
第二步 将选定的不同四列排序 四列模型各不相同,考虑四列之间的顺序差异共计 \(\rm{A}_4^4=24\)种.
因此 \(\rm{XYZW}\)型的个数共计 \(3\cdot 24=72\)种.
综上,所有满足题意的旗帜放法有 \(18+72=90\)种.
法二 逐行确定放法,共计 \[\rm{C}_4^2\cdot\left[\left(\rm{C}_2^2\right)^2+\left(\rm{C}_2^1\rm{C}_2^1\right)\cdot 2+\rm{C}_2^2\cdot\rm{C}_4^2\right]\cdot\rm{C}_2^2=90.\]
