背包粗讲

1.01背包：有n种物品与承重为m的背包。每种物品只有一件，每个物品都有对应的重量weight[i]与价值value[i]，求解如何装包使得价值最大。

板子：（这里用到了滚动数组，空间优化）

for(int i = 1;i <= n;i ++)  //n种物品 
{
	for(int j = bag;j >= w[i];j --)  //因为你要用到上一状态的值  所有必须从后向前遍历 
	{
		dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
	}
}

2.完全背包：有n种物品与承重为m的背包。每种物品有无限多件，每个物品都有对应的重量weight[i]与价值value[i]，求解如何装包使得价值最大。

板子：此时与01的区别在于数量无限第二循环正着遍历的意义在于每次取不同个数的物品找最优

for(int i = 1;i <= n;i ++)  //n种物品 
{
	for(int j = w[i];j <= bag;j ++)
	dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]); 
}

3.多重背包：有n种物品与承重为m的背包。每种物品有有限件num[i]，每个物品都有对应的重量weight[i]与价值value[i]，求解如何装包使得价值最大。

板子：和01背包类似多了一层遍历物品个数的循环

当然数据时间要求严格时需要用二进制枚举

for(int i = 1;i <= n;i ++)  //n种物品 
{
	for(int j = 0;j < num[i];j ++)  //对每种物品的个数开始遍历   （这是在数据很小的情况下 数据大的时候用二进制枚举） 
	{
		for(int k = bag;k >= w[i];k --)   // 写法如 01背包 
		{
			dp[k] = max(dp[k], dp[k - w[i]] + v[i]);
		}
	}
}

下面是多重背包的一道应用题

hdu2844 点击打开链接

当价值与个数的乘积大于容量m时这时我们可以把它当着用不完的数量即看作完全背包

相反小于m时则当作 01背包处理然后利用二进制枚举

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int m, n;
int v[105],num[105];
int dp[100005];
int main()
{
    while(cin >> n >> m && n && m)
    {
    	fill(dp,dp + 100005, -99999999);
    	dp[0] = 1;  //面值为0的时候只要一种选择  即 不掏钱 
    	for(int i = 1;i <= n;i ++)
    	{
    		cin >> v[i];
		}
		for(int i = 1;i <= n;i ++)
    	{
    		cin >> num[i];
		}
		for(int i = 1;i <= n;i ++)
		{
			//按完全背包算 
			if(num[i] * v[i] >= m)
			{
				for(int j = v[i];j <= m;j ++)
				dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + v[i]);
			}
			else
			{
				for(int j = 1;j <= num[i];j = j*2)
				{
					for(int k = m;k >= v[i] * j;k --)
					{
						dp[k] = max(dp[k], dp[k - v[i] * j] + v[i] * j);
					}
					num[i] -= j;
				}
				
				if(num[i] > 0)
				{
					for(int j = m;j >= v[i] * num[i];j --)
					dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i] * num[i]] + v[i] * num[i]);
				}
			}
		}
		
		int cnt = 0;
		for(int i = 1;i <= m;i ++)
		{
			if(dp[i] > 0)   //i表示面值  如果说面值为i时的值不为0  则 说明此时有组成i的解 
			cnt ++;
		}
		
		cout << cnt << endl; 
		
	}
    return 0;
}

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