一、AVL树的概念
二叉搜索树虽然可以缩短查找的效率,但是如果数据有序或者接近有序二叉搜索树将退化为单只树,查找元素相当于在顺序表中搜索元素,效率低下。因此,引入AVL树:当向二叉搜索树中插入新节点后,如果能保证没给节点的左右子树盖度之差的绝对值不超过1(需要对树中的节点进行调整),即可降低树的高度,从而减少平均搜索的长度。
一棵AVL树或者是空树,或者具有以下性质的二叉搜索树:
- 它的左右子树都是AVL树;
- 它左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1);
如果一颗二叉搜索树是高度平衡的,它就是AVL树。如果它有n个节点,其高度可保持在O(log2N),搜索时时间复杂度为O(log2N);
二、AVL树节点的定义
template<class T>
struct AVLTreeNode {
AVLTreeNode(const T& data)
: _pLeft(nullptr)
, _pRight(nullptr)
, _pParent(nullptr)
, _data(data)
, _bf(0)
{}
AVLTreeNode<T>* _pLeft;
AVLTreeNode<T>* _pRight;
AVLTreeNode<T>* _pParent;
T _data;
int _bf; //该点的平衡因子
};
三、AVL树的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上又引入了平衡因子,因此AVL树也可以看成时二叉搜索树,那么AVL树的插入步骤:
- 按照二叉搜索树的方式插入新节点;
- 调整该节点的平衡因子;
需要注意的是:新节点插入后,AVL树的平衡性可能会遭到破坏,此时就需要更新平衡因子,并检测是否破坏了AVL树的平衡性;
如果插入前pParent是-1,0,1,则分为以下两种情况:
- 如果pCur插入到pParent的左侧,只需要给pParent的平衡因子减一;
- 如果pCur插入到pParent的右侧,只需要给pParent的平衡因子加一;
-->此时pParent 的平衡因子可能有三种情况:0,+-1,+-2:
- 如果pParent的平衡因子为0,说明插入之前pParent的平衡因子为+-1,插入后被调整到0,此时满足;
- 如果pParent的平衡因子为+-1,说明插入之前pParent的平衡因子一定为0,插入后被更新为+-1,此时以pParent为根的树高度增加,需要继续向上更新;
- 如果pParent的平衡因子为+-2,则pParent的平衡因子违反平衡树的性质,需要对其进行旋转处理;
bool Insert(const T& data) {
if (_pRoot == nullptr) {
_pRoot = new Node(data);
return true;
}
PNode pCur = _pRoot;
PNode pParent = nullptr;
//找到位置
while (pCur) {
pParent = pCur;
if (pCur->_data > data)
pCur = pCur->_pLeft;
else if (pCur->_data < data)
pCur = pCur->_pRight;
else
return false;
}
//插入
pCur = new Node(data);
if (data < pParent->_data) {
pParent->_pLeft = pCur;
pCur->_pParent = pParent;
}
else {
pParent->_pRight = pCur;
pCur->_pParent = pParent;
}
while (pParent) {
//更新pParent的平衡因子
if (pCur = pParent->_pLeft)
pParent->_bf--;
else
pParent->_bf++;
//验证平衡性
if (pParent->_bf == 0)
break;
else if (pParent->_bf == 1 || pParent->_bf == -1) {
//向上调整
pCur = pParent;
pParent = pCur->_pParent;
}
else {
if (pParent->_bf == 2) {
if (pCur->_bf == 1)
RotateRL(pParent);
else
RotateRL(pParent);
}
else {
if (pCur->_bf == -1)
RotateRight(pParent);
else
RotateLR(pParent);
}
pCur = pParent->_pParent;
pParent = pCur->_pParent;
}
}
return true;
}
四、AVL树的旋转
如果在一颗原本是平衡的AVL树种插入一个新的节点,可能造成不平衡,此时必须调整数的结构,使之平衡化,根据节点的插入位置不同,AVL树的旋转分为4种:
1、新节点插入较高左子树的左侧--左左:右单旋
如图所示,原来的AVL树时平衡的,新节点插入到30的左子树后(不是左孩子),30的左子树增加了一层,导致以60为根的二叉树不平衡,要让60平衡,只能将60的左子树的高度减少一层,右子树增加一层;即将左子树往上提,这样60转下来,因为60比30大,只能将其放在30的左子树,而如果30有右子树,右子树根的值一定大于30,小于60,只能将其放在60的左子树,旋转完成后,更新节点的平衡因子即可,在旋转过程,分为以下几种情况:
- 30节点的右孩子也可能存在,也可能不存在;
- 60可能是根节点,也可能是子树:如果是根节点,旋转完成后需要更新根节点;如果是子树,可能是某个节点的左子树,也可能是右子树。
//右单旋
void RotateRight(PNode pParent) {
//pSubL:pParent的左孩子
//pSubLR:pParent左孩子的右孩子
PNode pSubL = pParent->_pLeft;
PNode pSubLR = pSubL->_pRight;
pParent->_pLeft = pSubLR;
//pSubLR != NULL 更新双亲
if (pSubLR)
pSubLR->_pParent = pParent;
PNode ppParent = pParent->_pParent;
pSubL->_pRight = pParent;
//更新pParent的双亲
pParent->_pParent = pSubL;
if (ppParent == nullptr) {
_pRoot = pSubL;
pSubL->_pParent = nullptr;
}
else {
if (ppParent->_pLeft == pParent)
ppParent->_pLeft = pSubL;
else
ppParent->_pRight = pSubL;
}
//更新_bf
pSubL->_bf = 0;
if (pParent->_pLeft == nullptr && pParent->_pRight != nullptr)
pParent->_bf = 1;
else
pParent->_bf = 0;
}
2、新节点插入较高左子树的右侧--右右:左单旋
类似于右单旋;
void RotateLeft(PNode pParent) {
PNode pSubR = pParent->_pRight;
PNode pSubRL = pSubR->_pLeft;
PNode ppParent = pParent->_pParent;
pParent->_pRight = pSubRL;
if (pSubRL)
pSubRL->_pParent = pParent;
pSubR->_pRight = pParent;
pParent->_pParent = pSubR;
if (ppParent == nullptr) {
_pRoot = pSubR;
pSubR->_pParent == nullptr;
}
else {
if (ppParent->_pLeft == pParent)
ppParent->_pLeft = pSubR;
else
ppParent->_pRight = pSubR;
}
pSubR->_bf = 0;
if (pParent->_pRight == nullptr && pParent->_pLeft != nullptr)
pParent->_bf = -1;
else
pParent->_bf = 0;
}
3、新节点插入较高左子树的右侧--左右:先左单旋再右单旋
将双旋变成单旋后再旋转,即:先对30进行左单旋,然后再进行右单旋,旋转完成后再考虑平衡因子的更新;
void RotateLR(PNode pParent) {
PNode pSubL = pParent->_pLeft;
PNode pSubLR = pSubL->_pRight;
int bf = pSubLR->_bf;
RotateLeft(pParent->_pLeft);
RotateRight(pParent);
if (bf == 1)
pSubL->_bf = -1;
else if (bf == -1)
pParent->_bf = 1;
}
4、新节点插入较高右子树的左侧--左右:先右单旋再左单旋
参考先左单旋再右单旋
五、AVL树的验证
1、如果中序遍历是有序的序列,说明此树是二叉搜索树;
2、验证是否为平衡树
- 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点种如果没有平衡因子);
- 节点的平衡因子是否计算正确;
int Height(PNode pRoot);
bool IsBalanceTree(PNode pRoot) {
if (pRoot == nullptr)
return true;
//计算左右之差
int leftHeight = Height(pRoot->_pLeft);
int rightHeight = Height(pRoot->_pRight);
int diff = rightHeight - leftHeight;
//如果左右之差不等于pRoot的_bf,或者绝对值超过1,都返回false
if (diff != pRoot->_bf || (diff > 1 || diff < -1))
return false;
//左右递归验证
return IsBalanceTree(pRoot->_pLeft) && IsBalanceTree(pRoot->_pRight);
}
总结:
假如以pParent为根的子树不平衡,即pParent的平衡因子为2或者-2,分以下情况考虑:
1、pParent的平衡因子为2,说明pParent的右子树高,设pParent的右子树的根为pSubR:
- 当pSubR的平衡因子为1时,执行左单旋;
- 当pSubR的平衡因子为-1时,执行右左单旋;
2、pParent的平衡因子为-2,说明pParent的左子树高,设pParent的左子树的根为pSubR:
- 当pSubR的平衡因子是-1时,执行右单旋;
- 当pSubR的平衡因子是1时,执行左右单旋;
六、AVL树的删除
因为AVL树也是二叉搜索树,可按照二叉搜索树的方式将节点删除,然偶再来更新平衡因子,两者不同时进行,删除节点后的平衡因子更新,最差的情况下一直要调整到根节点的位置。
七、AVL树的性能
AVL树是一颗绝对平衡的树,其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1,这样可以保证查询时高效的时间复杂度,及log2N,但是如果要求对AVL树做一些结构修改的操作,性能非常低下。