题目描述

$n<=10^5$

题目分析

• 我们惊喜地发现这竟然是一道数论题。
• 第二类斯特林数定义 $S(n,m)$：
• 首先关于第二类斯特林数有一个特别重要的公式。
• $S(i,j)=\frac{1}{j!}*\sum_{k=1}^{j}(-1)^k*C_j^k*(j-k)^i$
• 这是一个容斥，枚举有多少个集合是空的，但最后因为每一个集合是相同的，所以要除以 $j!$
• 然后我们把这个东西套进题目的式子里：
• $\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^iS(i,j)*2^j*j!$
• $=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^nS(i,j)*2^j*j!$
• $=\sum_{j=0}^n2^j*j!*\sum_{i=0}^nS(i,j)$
• $=\sum_{j=0}^n2^j*j!*\sum_{i=0}^n\frac{1}{j!}*\sum_{k=1}^{j}(-1)^k*C_j^k*(j-k)^i$
• $=\sum_{j=0}^n2^j*j!*\sum_{i=0}^n\frac{1}{j!}*\sum_{k=1}^{j}(-1)^k*\frac{j!}{k!(j-k)!}*(j-k)^i$
• $=\sum_{j=0}^n2^j*j!*\sum_{i=0}^n\sum_{k=1}^{j}(-1)^k*\frac{(j-k)^i}{k!(j-k)!}$
• $=\sum_{j=0}^n2^j*j!*\sum_{k=1}^{j}\sum_{i=0}^n(-1)^k*\frac{(j-k)^i}{k!(j-k)!}$
• $=\sum_{j=0}^n2^j*j!*\sum_{k=1}^{j}\frac{(-1)^k}{k!}\sum_{i=0}^n\frac{(j-k)^i}{(j-k)!}$
• 用等比数列求和，可得：
• $=\sum_{j=0}^n2^j*j!*\sum_{k=1}^{j}\frac{(-1)^k}{k!}*\frac{(j-k)^{n+1}-1}{(j-k-1)(j-k)!}$
• 经过了一系列转折，我们终于接近终点，我们设：
• $f(i)=\frac{(-1)^i}{i!}$， $g(i)=\frac{i^{n+1}-1}{(i-1)*i!}$
• 所以原式 $=\sum_{j=0}^n2^j*j!*\sum_{k=1}^{j}f(k)*g(j-k)$
• 我们发现这是一个标准的卷积，所以用NTT求即可。
• 时间复杂度 $O(nlog_2n)$