数据结构中对树的总结：
目录
6.平衡二叉树AVL树（平衡二叉树是一棵高度平衡的二叉查找树）
1.二叉树的引入
树结构通常结合了另外两种数据结构的优点：一种是有序数组，另外一种是链表。 树结构的查询的速度和有序数组一样快，树结构的插入数据和删除数据的速度也和链表一样快。
2、线性表的两种表示形式
(1)顺序表示（其实就是数组）
(2)链表表示
3.二叉树，满二叉树，完全二叉树的区别：
二叉树：
是n(n>=0)个结点的有限集合，它或者是空树（n=0），或者是由一个根结点及两颗互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树所组成。
满二叉树：
一颗深度为k且有2^k-1个结点的二叉树称为满二叉树。
除叶子结点外的所有结点均有两个子结点。节点数达到最大值。所有叶子结点必须在同一层上。
完全二叉树：
若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。
判断完全二叉树
完全二叉树：除最后一层外，每一层上的节点数均达到最大值；在最后一层上只缺少右边的若干结点。
4.二叉搜索树（又称二叉查找树或二叉排序树）BST树
二叉查找树，也称二叉搜索树，或二叉排序树。其定义也比较简单，要么是一颗空树，要么就是具有如下性质的二叉树：
（1）若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
（2） 若任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
（3） 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树；
（4） 没有键值相等的节点。
5.二叉查找树的插入和删除
二叉查找树的插入算法比较简单：空树，就首先生成根节点；不是空树就按照查找的算法，找到父节点，然后作为叶子节点插入，如果值已经存在就插入失败。
删除操作稍微复杂一点，有如下几种情况：
（1）如果删除的是叶节点，可以直接删除；
（2）如果被删除的元素有一个子节点，可以将子节点直接移到被删除元素的位置；
（3）如果有两个子节点，这时候就采用中序遍历，找到待删除的节点的后继节点，将其与待删除的节点互换，此时待删除节点的位置已经是叶子节点，可以直接删除。
二叉查找树的性质总结：
a.二叉查找树还有一个性质，即对二叉查找树进行中序遍历，即可得到有序的数列。
b.二叉查找树的查询复杂度，和二分查找一样，插入和查找的时间复杂度均为 O(logn) ，但是在最坏的情况下仍然会有 O(n) 的时间复杂度。原因在于插入和删除元素的时候，树没有保持平衡（如上不同形态的二叉树图中的b）。
6.平衡二叉树AVL树（平衡二叉树是一棵高度平衡的二叉查找树）
具有以下性质：
1.它是一棵空树
2.或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。
由于普通的二叉查找树会容易失去”平衡“，极端情况下，二叉查找树会退化成线性的链表，导致插入和查找的复杂度下降到 O(n) ，所以，这也是平衡二叉树设计的初衷。 如下图所示，左图是一棵平衡二叉树，根节点10，左右两子树的高度差是1，而右图，虽然根节点左右两子树高度差是0，但是右子树15的左右子树高度差为2，不符合定义，所以右图不是一棵平衡二叉树。
由此可以看出平衡二叉树是一棵高度平衡的二叉查找树。在构建一棵平衡二叉树的过程中，当有新的节点要插入时，检查是否因插入后而破坏了树的平衡，如果是，则需要做旋转去改变树的结构。
关于旋转，这东西不拿动态图将还真很难讲明白。所以我就借一下最容易懂得红黑树 这篇文章中左旋右旋的图来讲。
左旋： 
右旋：
左旋就是将节点的右支往左拉，右子节点变成父节点，并把晋升之后多余的左子节点出让给降级节点的右子节点；
而右旋就是反过来，将节点的左支往右拉，左子节点变成了父节点，并把晋升之后多余的右子节点出让给降级节点的左子节点。
即左旋就是往左变换，右旋就是往右变换。不管是左旋还是右旋，旋转的目的都是将节点多的一支出让节点给另一个节点少的一支。
举个例子，像上图是否平衡二叉树的图里面，左图在没插入前”19“节点前，该树还是平衡二叉树，但是在插入”19“后，导致了”15“的左右子树失去了”平衡“，所以此时可以将”15“节点进行左旋，让”15“自身把节点出让给”17“作为”17“的左树，使得”17“节点左右子树平衡，而”15“节点没有子树，左右也平衡了。如下图，
Avl结点的插入
由于在构建平衡二叉树的时候，当有新节点插入时，都会判断插入后是否平衡，这说明了插入新节点前，都是平衡的，也即高度差绝对值不会超过1。当新节点插入后，有可能会有导致树不平衡，这时候就需要进行调整，而可能出现的情况就有4种，分别称作左左，左右，右左，右右。
（1）左左：
左左即为在原来平衡的二叉树上，在节点的左子树的左子树下，有新节点插入，导致节点的左右子树的高度差为2，如上即为”10“节点的左子树”7“，的左子树”4“，插入了节点”5“或”3“导致失衡。
左左调整其实比较简单，只需要对节点进行右旋即可，如下图，对节点”10“进行右旋，
（注意：如果对左右旋变换还不是很懂或不是很熟练的，可以对照着前面的那两个动图去想象，自己动手变换几次，就明白了。）
（2）左右：
左右即为在原来平衡的二叉树上，在节点的左子树的右子树下，有新节点插入，导致节点的左右子树的高度差为2，如上即为”11“节点的左子树”7“，的右子树”9“，插入了节点”10“或”8“导致失衡。
左右的调整就不能像左左一样，进行一次旋转就完成调整。我们不妨先试着让左右像左左一样对”11“节点进行右旋，结果图如下，右图的二叉树依然不平衡，而右图就是接下来要讲的右左，即左右跟右左互为镜像，左左跟右右也互为镜像。
右右跟左左一样，只需要旋转一次就能把树调整平衡，而左右跟右左也一样，都要进行旋转两次才能把树调整平衡，所以，首先上图的这种调整是错误的，正确的调整方式是，将左右进行第一次旋转，将左右先调整成左左，然后再对左左进行调整，从而使得二叉树平衡。
即先对上图的节点”7“进行左旋，使得二叉树变成了左左，之后再对”11“节点进行右旋，此时二叉树就调整完成，如下图，
右左：
右左即为在原来平衡的二叉树上，在节点的右子树的左子树下，有新节点插入，导致节点的左右子树的高度差为2，如上即为”11“节点的右子树”15“，的左子树”13“，插入了节点”12“或”14“导致失衡。
前面也说了，右左跟左右其实互为镜像，所以调整过程就反过来，先对节点”15“进行右旋，使得二叉树变成右右，之后再对”11“节点进行左旋，此时二叉树就调整完成，如下图，
右右：
右右即为在原来平衡的二叉树上，在节点的右子树的右子树下，有新节点插入，导致节点的左右子树的高度差为2，如上即为”11“节点的右子树”13“，的左子树”15“，插入了节点”14“或”19“导致失衡。
右右只需对节点进行一次左旋即可调整平衡，如下图，对”11“节点进行左旋。
avl结点删除
平衡二叉树构建的过程，就是节点插入的过程，插入失衡情况就上面4种，算简单了，下面讲下平衡二叉树节点的删除，删除的情况会复杂一点，复杂的原因主要在于删除了节点之后要维系二叉树的平衡，但是删除二叉树节点总结起来就两个判断：①删除的是什么类型的节点？②删除了节点之后是否导致失衡？
节点的类型有三种：1.叶子节点；2.只有左子树或只有右子树；3.既有左子树又有右子树。
针对这三种节点类型，再引入判断②，所以处理思路分别是：
（1）当删除的节点是叶子节点，则将节点删除，然后从父节点开始，判断是否失衡，如果没有失衡，则再判断父节点的父节点是否失衡，直到根节点，此时到根节点还发现没有失衡，则说此时树是平衡的；如果中间过程发现失衡，则判断属于哪种类型的失衡（左左，左右，右左，右右），然后进行调整。
（2）删除的节点只有左子树或只有右子树，这种情况其实就比删除叶子节点的步骤多一步，就是将节点删除，然后把仅有一支的左子树或右子树替代原有结点的位置，后面的步骤就一样了，从父节点开始，判断是否失衡，如果没有失衡，则再判断父节点的父节点是否失衡，直到根节点，如果中间过程发现失衡，则根据失衡的类型进行调整。
（3）删除的节点既有左子树又有右子树，这种情况又比上面这种多一步，就是中序遍历，找到待删除节点的前驱或者后驱都行，然后与待删除节点互换位置，然后把待删除的节点删掉，后面的步骤也是一样，判断是否失衡，然后根据失衡类型进行调整。
最后总结一下，平衡二叉树是一棵高度平衡的二叉树，所以查询的时间复杂度是 O(logN) 。插入的话上面也说，失衡的情况有4种，左左，左右，右左，右右，即一旦插入新节点导致失衡需要调整，最多也只要旋转2次，所以，插入复杂度是 O(logN)O(1) ，但是平衡二叉树也不是完美的，也有缺点，从上面删除处理思路中也可以看到，就是删除节点时有可能因为失衡，导致需要从删除节点的父节点开始，不断的回溯到根节点，如果这棵平衡二叉树很高的话，那中间就要判断很多个节点。所以后来也出现了综合性能比其更好的树—-红黑树，后面再讲。
补充说明：因为节点插入确实也包含查询的过程（定位到插入的目标位置），找到位置之后，再对节点进行插入。在最后的总结那里“平衡二叉树插入复杂度是O(1)”，指的是节点插入之后二叉树失衡，所需的调整过程的时间复杂度为O(1)。
7.平衡二叉树之红黑树
红黑树是一个平衡的二叉树，但不是一个完美的平衡二叉树。虽然我们希望一个所有查找都能在~lgN次比较内结束，但是这样在动态插入中保持树的完美平衡代价太高。这个时候，红黑树站了出来。
阅读以下需要了解普通二叉树的插入以及删除操作。
红黑树是在普通二叉树上，对每个节点添加一个颜色属性形成的，同时整个红黑二叉树需要同时满足五条性质 ：
性质一：节点不是红色就是黑色；
性质二：根节点只能是黑色；
性质三：每个叶节点（NIL或空节点）是黑色；
这个可能有点理解困难，可以看图：
这个图片就是一个红黑树，NIL节点是个空节点，并且是黑色的。
性质四：每个红色节点的两个子节点都是黑色的（也就是说不存在两个连续的红色节点）；
(注:也就是說，如果結點是黑色的，那么它的子節點可以是紅色或者是黑色的)。
连续的两个节点的意思就是父节点与子节点不能是连续的红色。
性质五：从任一节点到其每个叶节点的所有路径都包含相同数目的黑色节点；
从根节点到每一个NIL节点的路径中，都包含了相同数量的黑色节点。
这五条性质约束了红黑树，可以通过数学证明来证明，满足这五条性质的二叉树可以将查找删除维持在对数时间内。
当我们进行插入或者删除操作时所作的一切操作都是为了调整树使之符合这五条性质。
下面我们先介绍两个基本操作，旋转。
旋转的目的是将节点多的一支出让节点给另一个节点少的一支，旋转操作在插入和删除操作中经常会用到，所以要熟记。
左旋： 
右旋：
下面讲讲插入，我们先明确一下各节点的叫法
因为要满足红黑树的这五条性质，如果我们插入的是黑色节点，那就违反了性质五，需要进行大规模调整，如果我们插入的是红色节点，那就只有在要插入节点的父节点也是红色的时候违反性质四或者是当插入的节点是根节点时，违反性质二，所以，我们把要插入的节点的颜色变成红色。
8.平衡二叉树和红黑树的关系以及区别
如果说平衡二叉树是一个类的话，那么红黑树就是该类的一个实例。
红黑树有两个重要性质：
1、红节点的孩子节点不能是红节点；（只能是黑结点）
2、从根到前端节点的任意一条路径上的黑节点数目一样多。
这两条性质确保该树的高度为logN，所以是平衡树。
红黑树是每个节点都带颜色的树，节点颜色或是红色或是黑色，红黑树是一种查找树。红黑树有一个重要的性质，从根节点到叶子节点的最长的路径不多于最短的路径的长度的两倍。对于红黑树，插入，删除，查找的复杂度都是O（log N）。
一．插入的节点总是设为红节点，（1）当其父节点为红节点时，这就有破坏了性质1，就需要调整。将插入节点作为考察节点，考察其叔父，如果也是红节点，则将其父亲和叔父改为黑节点，而将其祖父改为红节点，然后以其祖父为考察节点。（2）如果其叔父是黑节点则做一旋转变换可以搞定，没有图不太好说明，你可以自己考虑一下，总之它的思想是把“多出来”的红色往上一层推去，确保下面层红黑性质，最后推到根以后，如果依然违反性质1，则可以直接把根由红改黑即可，就相当于把这“多出来”的红色推到树以外的节点去了。
二．删除节点时先要找到顶替的节点，如果删去的节点是黑色则破坏了性质2，也需要调整。调整的思想也同前面类似，把这个黑色赋予顶替节点，则顶替节点相当于有两重黑色，然后将它的两重黑色向上推，一直推到根，再从根推到外面去了。
平衡二叉树的调整算法，根据破坏平衡性的加入点，将插入操作分为了四种，分别是LL、LR、RR、RL。每种引起不平衡的插入位置，均有相应的调整算法。
AVL树又称高度平衡的二叉搜索树.引入二叉树的目的是为了提高二叉树的搜索的效率,减少树的平均搜索长度.为此,就必须每向二叉树插入 一个结点时调整树的结构,使得二叉树搜索保持平衡,从而可能降低树的高度,减少的平均树的搜索长度.
AVL树的定义:
一棵AVL树满足以下的条件:
1>它的左子树和右子树都是AVL树
2>左子树和右子树的高度差不能超过1 从条件1可能看出是个递归定义,如GNU一样.
性质:
1>一棵n个结点的AVL树的其高度保持在0(log2(n)),不会超过3/2log2(n+1)
2>一棵n个结点的AVL树的平均搜索长度保持在0(log2(n)).
3>一棵n个结点的AVL树删除一个结点做平衡化旋转所需要的时间为0(log2(n)).
# 红黑树是一种很有意思的平衡检索树。它的统计性能要好于平衡二叉树，因此，红黑树在很多地方都有应用。在C++ STL中，很多部分(目前包括 set, multiset, map, multimap)应用了红黑树的变体(SGI STL中的红黑树有一些变化，这些修改提供了更好的性能，以及对set操作的支持)。
AVL 树是高度平衡的，频繁的插入和删除，会引起频繁的reblance，导致效率下降
红黑树不是高度平衡的，算是一种折中，插入最多两次旋转，删除最多三次旋转
9.红黑树（RB-tree）比AVL树的优势在哪？
首先红黑树是不符合AVL树的平衡条件的，即每个节点的左子树和右子树的高度最多差1的二叉查找树。但是提出了为节点增加颜色，红黑是用非严格的平衡来换取增删节点时候旋转次数的降低，任何不平衡都会在三次旋转之内解决，而AVL是严格平衡树，因此在增加或者删除节点的时候，根据不同情况，旋转的次数比红黑树要多。所以红黑树的插入效率更高！！！
Answer 1：
1. 如果插入一个node引起了树的不平衡，AVL和RB-Tree都是最多只需要2次旋转操作，即两者都是O(1)；但是在删除node引起树的不平衡时，最坏情况下，AVL需要维护从被删node到root这条路径上所有node的平衡性，因此需要旋转的量级O(logN)，而RB-Tree最多只需3次旋转，只需要O(1)的复杂度。
2. 其次，AVL的结构相较RB-Tree来说更为平衡，在插入和删除node更容易引起Tree的unbalance，因此在大量数据需要插入或者删除时，AVL需要rebalance的频率会更高。因此，RB-Tree在需要大量插入和删除node的场景下，效率更高。自然，由于AVL高度平衡，因此AVL的search效率更高。
3. map的实现只是折衷了两者在search、insert以及delete下的效率。总体来说，RB-tree的统计性能是高于AVL的。
Answer 2 这个总结比较好：
红黑树的查询性能略微逊色于AVL树，因为他比avl树会稍微不平衡最多一层，也就是说红黑树的查询性能只比相同内容的avl树最多多一次比较，但是，红黑树在插入和删除上完爆avl树，avl树每次插入删除会进行大量的平衡度计算，而红黑树为了维持红黑性质所做的红黑变换和旋转的开销，相较于avl树为了维持平衡的开销要小得多
Answer 3 ：
功能、性能、空间开销的折中结果。
AVL更平衡，结构上更加直观，时间效能针对读取而言更高；维护稍慢，空间开销较大。
红黑树，读取略逊于AVL，维护强于AVL，空间开销与AVL类似，内容极多时略优于AVL，维护优于AVL。
基本上主要的几种平衡树看来，红黑树有着良好的稳定性和完整的功能，性能表现也很不错，综合实力强，在诸如STL的场景中需要稳定表现。
所以简单说，如果你的应用中，搜索的次数远远大于插入和删除，那么选择AVL，如果搜索，插入删除次数几乎差不多，应该选择RB。
1 好处 及 用途
红黑树并不追求“完全平衡”——它只要求部分地达到平衡要求，降低了对旋转的要求，从而提高了性能。
红黑树能够以O(log2 n) 的时间复杂度进行搜索、插入、删除操作。此外，由于它的设计，任何不平衡都会在三次旋转之内解决。当然，还有一些更好的，但实现起来更复杂的数据结构 能够做到一步旋转之内达到平衡，但红黑树能够给我们一个比较“便宜”的解决方案。红黑树的算法时间复杂度和AVL相同，但统计性能比AVL树更高。
当然，红黑树并不适应所有应用树的领域。如果数据基本上是静态的，那么让他们待在他们能够插入，并且不影响平衡的地方会具有更好的性能。如果数据完全是静态的，例如，做一个哈希表，性能可能会更好一些。
在实际的系统中，例如，需要使用动态规则的防火墙系统，使用红黑树而不是散列表被实践证明具有更好的伸缩性。
典型的用途是实现关联数组
2 AVL树是最先发明的自平衡二叉查 找树。在AVL树中任何节点的两个儿子子树的高度最大差别为一，所以它也被称为高度平衡树。查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(log n)。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。
引入二叉树的目的是为了提高二叉树的搜索的效率,减少树的平均搜索长度.为此,就必须每向二叉树插入一个结点时调整树的结构,使得二叉树搜索保持平衡,从而可能降低树的高度,减少的平均树的搜索长度.
从1这点来看红黑树是牺牲了严格的高度平衡的优越条件为 代价红黑树能够以O(log2 n)的时间复杂度进行搜索、插入、删除操作。此外，由于它的设计，任何不平衡都会在三次旋转之内解决。当然，还有一些更好的，但实现起来更复杂的数据结构 能够做到一步旋转之内达到平衡，但红黑树能够给我们一个比较“便宜”的解决方案。红黑树的算法时间复杂度和AVL相同，但统计性能比AVL树更高.
