题目描述

$设d(x)为x的约数个数，给定N,M,求\sum^N_{i=1}\sum^M_{j=1}d(ij)$
$其中d(x)表示x的约数个数$

题解

首先要知道如下结论:
$d(ij)=\sum^i_{k|i}\sum^j_{l|j}gcd(k,l)=1$

然后开始随便推式子：
原式化为

\sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{M} \sum_{k | i}^{i} \sum_{l | j}^{j} g c d (k, l) = 1

$\sum^N_{i=1}\sum^M_{j=1}\sum^i_{k|i}\sum^j_{l|j}gcd(k,l)=1$

因为我们有 $\sum_{d|n}\mu(d)=1\;\;\;(n=1)$

\sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{M} \sum_{k | i}^{i} \sum_{l | j}^{j} \sum_{d | g c d (k, l)} μ (d)

$\sum^N_{i=1}\sum^M_{j=1}\sum^i_{k|i}\sum^j_{l|j}\sum_{d|gcd(k,l)}\mu(d)$
对于每一个

k, l

$k,l$ 会被算到

N / k * M / l 次

$N/k*M/l次$ (可去掉最外层两个sigma)

\sum_{k}^{N} \sum_{l}^{M} \frac{N}{k} * \frac{M}{l} \sum_{d | g c d (k, l)} μ (d)

$\sum^N_k\sum^M_l\frac{N}{k}*\frac{M}{l}\sum_{d|gcd(k,l)}\mu(d)$

枚举d

\sum_{d = 1}^{m i n (N, M)} μ (d) \sum_{k = 1}^{\frac{N}{d}} \sum_{l = 1}^{\frac{M}{d}} \frac{N}{k d} * \frac{M}{l d}

$\sum^{min(N,M)}_{d=1}\mu(d)\sum^{\frac{N}{d}}_{k=1}\sum^{\frac{M}{d}}_{l=1}\frac{N}{kd}*\frac{M}{ld}$

\sum_{d = 1}^{m i n (N, M)} μ (d) \sum_{k = 1}^{\frac{N}{d}} \frac{N}{k d} \sum_{l = 1}^{\frac{M}{d}} \frac{M}{l d}

$\sum^{min(N,M)}_{d=1}\mu(d)\sum^{\frac{N}{d}}_{k=1}\frac{N}{kd}\sum^{\frac{M}{d}}_{l=1}\frac{M}{ld}$
令

g (x) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{n}{i}

$g(x)=\sum^n_{i=1}\frac{n}{i}$
则

\sum_{d = 1}^{m i n (N, M)} μ (d) * g (\frac{N}{d}) * g (\frac{M}{d})

$\sum^{min(N,M)}_{d=1}\mu(d)*g(\frac{N}{d})*g(\frac{M}{d})$

筛g不能想当然地递推，会WA，而要用筛的方法
其实简单想想就会发现g(n)是n内所有数的约数个数的和，可以分别筛出每个数的约数个数，然后再求前缀和。

约数个数是个积性函数，可以筛。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0;char ch=getchar();int t=1;
    for(;ch>'9'||ch<'0';ch=getchar()) if(ch=='-') t=-1;
    for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch-48);
    return x*t;
}
int n,m;
const int N=5e4+100;
typedef long long ll;
int cnt=0;int pri[N];
int c[N];//某数的质因子的次数中的最小的次数
int mu[N];int g[N];bool vis[N];
inline void prepare()
{
    mu[1]=1;vis[1]=1;g[1]=c[1]=1;
    for(register int i=2;i<N;i++){
        if(!vis[i]) {mu[i]=-1;pri[++cnt]=i;g[i]=2;c[i]=1;}
        for(register int j=1;j<=cnt&&(1ll*pri[j]*i<N);j++)
        {
            register int x=pri[j]*i;
            vis[x]=1;
            if(i%pri[j]) {
                mu[x]=-mu[i];
                g[x]=g[i]*g[pri[j]];c[x]=1;
            }
            else {
                g[x]=g[i]/(c[i]+1)*(c[i]+2);
                c[x]=c[i]+1;mu[x]=0;
                break;
            }
        }
    }
    for(register int i=1;i<N;i++) mu[i]+=mu[i-1];
    for(register int i=2;i<N;i++) g[i]+=g[i-1];
}

int main()
{
    int T=read();
    prepare();
    while(T--)
    {
        n=read();m=read();if(n>m) swap(n,m);
        register int l=0,r=0;register ll ans=0;
        for(l=1;l<=n;l=r+1)
        {
            r=min(n/(n/l),m/(m/l));if(r>n) r=n;
            ans+=1ll*(mu[r]-mu[l-1])*g[n/l]*g[m/l];
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
}

【LuoguP3327】约数个数和

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题解

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