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- 古典微积分与现代实分析区别之一在于,
- 前者研究函数,着重单个函数性质
- 后者把由一些函数组成的集合看成空间,
- 函数看作这些“空间”中的一个元素(或一个点),
- 研究这些空间的“结构”,
- 把微分与积分看成点到点之间的映射(算子)
- 由函数可积性定义的这种空间就是
- 最基本与最重要的空间之一
- “空间”的思想,追溯到19末20初,
- Hilbert为求积分方程,把它化为解无穷线性方程组,并用有限线性方程组的解去逼近无穷的情形,研究有性质
- 后来Schmidt与Frechet将Hilbert的理论与n维欧氏空间比较
- 把n推广到无穷
- 考虑无穷维向量空间,称 为这个空间中的点
- 对两个满足
- 便产生了现在称之为 空间的概念,距离是这种空间的一种“结构”
- Schmidt还引入范数符号
-
1907年,F.Riesz与Frechet同时用连续量代替离散量,
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把 中的点改为 中的函数 ,
-
原来加在序列上的条件自然变成
-
得到所谓的 空间
- 与欧氏空间十分相似
-
又推广这一思想考虑在 使 L可积的函数 ,
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即 满足
- 从而引出 空间(本书总假定 )
- 22~23年,Hahn,Banach,Wiener独立引入一般线性赋范空间
-
空间重要在于它们是完备的,
- 体现绪论数学史上第二次完备化
- 空间的引入,是Lebesgue积分对20世纪近代数学最重要贡献之一
- 这些空间本身及在这基础上发展出来的,如Sobolev空间,Hardy空间,BMO空间(有界平均振动空间)等,成近代数学的基本框架
- 为纪念Lebesgue贡献,把最初用可积性定义的这些函数空间称Lebesgue空间,记
- 本章在前面Lebesgue测度与积分基础上
- 空间简单介绍,使读者体会Lebesgue积分的意义
- 空间更加丰富的内容,可从别的课程或专著中学到
6.1 空间
- 是 可测子集, ,
- 的实数
- 对在 上可测且满足类似(5)式的函数
- 引入下面定义
- 定义6.1
- 全体在 可测且满足
- 的 ,
- 组成函数空间 ,简记为
- 为 在 的范数
- 就是在 上 次幂可积的可测函数类
- 先证它是线性空间